Module 140:

L'analyse de la variance à un critère de classification a pour but la comparaison des moyennes de nA populations, à partir d'échantillons aléatoires et indépendants prélevés dans chacune d'elles. Ces populations sont en général des variantes (ou niveaux n_a) d'un facteur contrôlé (ou facteur A) de variation.

1. le paramètre étudié suit une distribution normale
2. les variances des populations sont toutes égales (HOMOSCEDASTICITE)
3. les échantillons sont prélevés aléatoirement et indépendamment dans les populations

1. Déterminer si les échantillons varient de la même manière
2. Si nous démontrons l'homogénéité des variances, alors, nous pouvons comparer les moyennes de ces échantillons

Le test de Hartley est utilisé lorsqu'il faut comparer des variances calculées à partir d'échantillons possédant des nombres identiques d'individus.

Rappel : la réalisation de ce test a été détaillée au module 125 page 2 .

Dans le cas d'une ANOVA, le test de Hartley est utilisé pour vérifier que tous les échantillons d'une expérience (s'ils ont des nombres d'individus identiques) ont des variances qui sont comparables. Ceci est indispensable pour s'assurer que les échantillons proviennent effectivement d'une même population de départ, et que si le facteur de variation utilisé dans l'expérience a eu un effet sur les données, il a bien induit une modification de moyenne, mais pas de variance.

Le test de Fisher est utilisé lorsque qu'il faut comparer 2 variances de deux échantillons possédant des nombres différents d'individus.

Rappel : la réalisation de ce test a été détaillée au module 125 page 3.

Dans le cas d'une ANOVA, le test de Fisher est utilisé pour comparer deux carrés moyens car les carrés moyens sont des variances, et qu'ils ont en général des nombres de degrés de liberté différents (ils sont donc calculés à partir de nombres d'individus différents).

Dans le cas d'une ANOVA1 le seul rapport de carrés moyens est :

F_observé = CMF/CMR

On verra par la suite (régression dans l'ANOVA, ANOVA2, ANOVA multiples) qu'il peut y avoir d'autres rapports de carrés moyens à comparer en utilisant ce test.

H0: toutes les moyennes sont identiques
H1: au moins une des moyennes est différente des autres

Le calcul:

Si vous utilisez MS Excel, le plus simple est de réaliser un tableau tel que:

• SCET =SOMME.CARRES.ECARTS(individus de l'expérience)
• SCEF =n_i*SOMME.CARRES.ECARTS(moyenne des échantillons)
• SCER =(n_i-1)*SOMME(toutes les variances)
• F_théorique : trouver sa valeur soit en utilisant les tables, soit en utilisant la formule MS Excel suivante : =INVERSE.LOI.F(alpha;dlF;dlR))

La formule de somme des carrés d'écarts est disponible dans MS Excel via le bouton fx (coller une fonction) dans la catégorie "statistique", chercher la formule SOMME.CARRES.ECARTS(série de données)

• N est le nombre total d'observations tous échantillons confondus
• n_a est le nombre d'échantillons comparés
• n_i est le nombre d'individus par échantillon

1. SCER =SCET-SCEF (premier niveau de vérification du tableau d'ANOVA)
2. le CMR est aussi égal à la moyenne des variances (second niveau de vérification du tableau d'ANOVA)

Seuil de signification:

Dans les tables, il faut aller rechercher:

F dl_factoriel; dl_résiduel; (1-alpha)

Le test d'ANOVA est unilatéral (voir Dagnelie, Théorie et Méthodes statistiques, vol. 2)

Conclusion du test:

Lorsque le F_observé est supérieur ou égal au F_théorique (F des tables), il y a rejet de l'hypothèse nulle H0. Cela implique que l'on a réussi à mettre en évidence la présence d'au moins une moyenne différente des autres.

F_obs ≥ F_tables: RH0

On ne peut cependant pas dire avec précision la ou lesquelles des moyennes est ou sont différente(s) des autres:

• S (ou *) signifie RH0 pour un intervalle de confiance de 95%
• SS (ou **) signifie RH0 pour un intervalle de confiance de 99%
• SSS (ou ***) signifie RH0 pour un intervalle de confiance de 99,9%

Pour pouvoir tirer de telles conclusions, il est nécessaire d'effectuer des analyses complémentaires telles que les contrastes de Scheffé ou les contrastes orthogonaux (si ces derniers sont justifiés).

1. Dans une expérience portant sur des moutons, on observe l'effet d'une injection d'hormone sur la croissance pondérale. L'accroissement de poids (en kg) après trois semaines est mesuré chez un groupe témoin, et sur 3 groupes recevant une dose croissante de l'hormone. Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelle est la taille d'un échantillon?

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?

Correction

2. Une industrie pharmaceutique désire tester trois stimulants de l'appétit (S1, S2, S3) en mesurant la capacité d'absorption de nourriture chez le rat. Quatre groupes de 12 rats sont constitués: le premier servant de témoin, les trois autres recevant respectivement les stimulants S1, S2 et S3. On mesure la quantité de nourriture (en kg) ingérée sur un mois. Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?

Correction

3. Un ornithologue s'intéresse à l'évolution d'une espèce d'oiseaux répartie dans trois sites géographiquement distincts A, B et C, et plus particulièrement aux différences morphologiques engendrées par les mécanismes d'isolement. A cet effet, il a mesuré la longueur des ailes (en mm) de 10 oiseaux capturés sur chaque site. Les barrières géographiques ont-elles engendré des différences morphologiques sur cette espèce? On considère que les variances des échantillons sont comparables. Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?

Correction

4. Pour fixer les quotas laitiers, on souhaite réaliser une estimation de la production laitière annuelle du cheptel de la Région Wallonne. Cette production varie évidemment d'un animal à l'autre, mais aussi, vraisemblablement, d'une région à l'autre. L'expérimentateur décide de prospecter trois régions: la Hesbaye, le Condroz et les Ardennes. Dans chaque région, il recueille les statistiques de production de dix vaches, prises au hasard dans différentes exploitations. Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?

Correction

5. Un hydrobiologiste s'intéresse à la teneur en phosphates de quatre lacs. Il effectue dans chaque lac 5 mesures indépendantes de la concentration en phosphates (microgrammes par litre). Analysez les résultats.

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?

Correction

6. Lors d'une étude sur l'effet de la teneur en calcium dans la nourriture des brebis, le poids frais (en g) du muscle semi-tendineux est mesuré sur les animaux de six groupes:
A : pas d'apport de sels minéraux
B,C,D : trois rations de sels minéraux sous forme de supplément
E,F : deux rations additionnées à la nourriture.
Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?

Correction

7. Douze parcelles de terrain sont divisées aléatoirement en 3 groupes. Le premier sert de témoin, les deux autres sont fertilisés respectivement avec les engrais A et B. On effectue une mesure de rendement sur chaque parcelle. Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?

Correction

1. Dans une expérience portant sur des moutons, on observe l'effet d'une injection d'hormone sur la croissance pondérale. L'accroissement de poids (en kg) après trois semaines est mesuré chez un groupe témoin, et sur 3 groupes recevant une dose croissante de l'hormone. Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelle est la taille d'un échantillon ?
De l'énoncé on sait qu'il y a 4 groupes (3+1 témoin), et si dl_SCET=47 c'est qu'il y a 48 moutons en tout, soit 12 par échantillon.

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?
Commençons par tester l'homoscédasticité des 4 échantillons :
H_obs=0,31/0,19=1,63 donc H_obs<H_tables (entre 5,67 et 4,79) donc on accepte l'hypothèse nulle et on peut faire l'ANOVA.
Pour l'ANOVA F_obs> F _tables pour alpha=0,001 (F(0,001;3;44)=compris entre 6,60 et 6,34) donc l'influence de l'hormone sur la croissance pondérale des moutons est très hautement significative.

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2. Une industrie pharmaceutique désire tester trois stimulants de l'appétit (S1, S2, S3) en mesurant la capacité d'absorption de nourriture chez le rat. Quatre groupes de 12 rats sont constitués: le premier servant de témoin, les trois autres recevant respectivement les stimulants S1, S2 et S3. On mesure la quantité de nourriture (en kg) ingérée sur un mois. Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?
Commençons par tester l'homoscédasticité des 4 échantillons :
H_obs=2,11/0,35=6,02 donc H_obs> H_tables (entre 5,67 et 4,79) donc on refuse l'hypothèse nulle et on ne peut pas faire l'ANOVA.

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3. Un ornithologue s'intéresse à l'évolution d'une espèce d'oiseaux répartie dans trois sites géographiquement distincts A, B et C, et plus particulièrement aux différences morphologiques engendrées par les mécanismes d'isolement. A cet effet, il a mesuré la longueur des ailes (en mm) de 10 oiseaux capturés sur chaque site. Les barrières géographiques ont-elles engendré des différences morphologiques sur cette espèce? On considère que les variances des échantillons sont comparables. Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?
On vous précise que les échantillons ont des variances comparables donc on passe directement à l'ANOVA:
CMF=51,47/2= 25,735
CMR=116,37/27=4,31
F_obs=25,735/4,31=5,97
F_table compris entre 3,37 et 3,34 pour alpha=0,05, compris entre 5,53 et 5,45 pour alpha=0,01, compris entre 9,12 et 8,93 pour alpha=0,001. Nous rejetons donc l'hypothèse nulle à alpha=0,05 et alpha=0,01, et on l'accepte à alpha=0,001: L'effet étudié est donc très significatif.

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4. Pour fixer les quotas laitiers, on souhaite réaliser une estimation de la production laitière annuelle du cheptel de la Région Wallonne. Cette production varie évidemment d'un animal à l'autre, mais aussi, vraisemblablement, d'une région à l'autre. L'expérimentateur décide de prospecter trois régions: la Hesbaye, le Condroz et les Ardennes. Dans chaque région, il recueille les statistiques de production de dix vaches, prises au hasard dans différentes exploitations. Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?
Homoscédasticité: 1244629,8/696291,5=1,787 < 5,34 (H pour 3 et 9 dl) donc on accepte l'idée que les variances sont homogènes, donc on peut réaliser l'ANOVA.
ANOVA: F_table compris entre 3,37 et 3,34 pour alpha=0,05, et compris entre 5,53 et 5,45 pour alpha=0,01, donc nous refusons l'hypothèse nulle à alpha=0,05 et on l'accepte à alpha=0,01: L'effet étudié est significatif.

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5. Un hydrobiologiste s'intéresse à la teneur en phosphates de quatre lacs. Il effectue dans chaque lac 5 mesures indépendantes de la concentration en phosphates (microgrammes par litre). Analysez les résultats.

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?
Homoscédasticité: 22,7/14,7=1,54 < 20,6 (H pour 4 et 4 dl) donc on accepte l'hypothèse que les variances sont homogènes, donc on peut réaliser l'ANOVA.
ANOVA: F_table=3,24 pour alpha=0,05, F_table=5,29 pour alpha=0,01, F_table=9,00 pour alpha=0,001, donc nous refusons l'hypothèse nulle à alpha=0,05 et alpha=0,01, mais nous l'acceptons à alpha=0,001 : L'effet étudié est très significatif.

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6. Lors d'une étude sur l'effet de la teneur en calcium dans la nourriture des brebis, le poids frais (en g) du muscle semi-tendineux est mesuré sur les animaux de six groupes:
A : pas d'apport de sels minéraux
B,C,D : trois rations de sels minéraux sous forme de supplément
E,F : deux rations additionnées à la nourriture.
Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?
Il n'y a pas assez de données pour résoudre cet exercice.

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7. Douze parcelles de terrain sont divisées aléatoirement en 3 groupes. Le premier sert de témoin, les deux autres sont fertilisés respectivement avec les engrais A et B. On effectue une mesure de rendement sur chaque parcelle. Ci-dessous, voici ce qui est mis à votre disposition:

Quelles conclusions pouvez-vous en tirer?
Homoscédasticité: 20,67/14=1,47< 27,8 (H pour 3 et 3 dl) donc on accepte l'idée que les variances sont homogènes, donc on peut réaliser l'ANOVA.
ANOVA: F_table=4,26 pour alpha=0,05, F_table=8,02 pour alpha=0,01, 16,4 pour alpha=0,001. Donc nous refusons l'hypothèse nulle pour alpha=0,05 et alpha=0,01, et nous l'acceptons à alpha=0,001 : L'effet étudié est très significatif.

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