Module 130:

Les tests d'hypothèses vont permettre aux statisticiens de comparer des échantillons entre eux ou encore de comparer un échantillon avec une population de référence...

Types de tests d'hypothèses:

Dans le cadre de ces travaux pratiques, nous envisagerons trois types de tests d'hypothèses.

1. test de comparaison d'une moyenne d'un échantillon par rapport à une population
2. test de comparaison de 2 échantillons tirés de 2 populations indépendantes
3. test de comparaison de 2 échantillons tirés de 2 populations pairées

Les tests 2 et 3 sont des cas particuliers qui peuvent être plus simplement traités par l'ANOVA.

Les hypothèses:

Quel que soit le type de tests (voir ci-dessus), il faut toujours prendre pour hypothèse de référence que les moyennes comparées proviennent d'une seule population de moyenne Mx. Il s'agit de l'hypothèse de départ appelée "hypothèse nulle" (H0) qui pourra s'écrire comme suit dans le cas d'une comparaison de deux moyennes:

L'expérimentateur doit ensuite démontrer que les moyennes comparées ne proviennent pas de la même population, mais qu'une des populations possède une moyenne plus grande, plus petite ou tout simplement différente par rapport à l'autre population. Il s'agit de l'"hypothèse alternative" (H1) qui pourra s'écrire comme suit:

ou

ou encore

Réalisation du test:

Réduction des moyennes observées:
La (les) moyenne(s) mx obtenue(s) pour (les) l'échantillon(s) peu(ven)t être réduite(s) en une valeur observée (z observée ou t observée). Celle-ci peut ensuite être comparée à une valeur seuil (z table ou t table).

En général, et pour la suite de l'exemple, on appellera M1 la moyenne de la population dont on pense que les individus proviennent, et M2 celle dont ils proviennent réellement.

La valeur seuil va déterminer sous la courbe de Gauss réduite des zones distinctes: une zone probable suivant H0 et une zone improbable suivant H0, vous devrez choisir dans les tables de Z ou de t de student une valeur seuil. En fonction du nombre d'hypothèses attendues (1 ou 2) et de la confiance 1-alpha (95%, 99%, ...).

Si l'hypothèse alternative H1 est "M2 plus grand que M1"

Lorsque la valeur observée (Z observée ou t observée) est plus grande que la valeur théorique (Z(1-alpha) ou t(1-alpha)), alors H1 est respectée (AH1)et H0 rejetée (RH0). Dans le cas d'un rejet de H0 (RH0), l'expérimentateur aura réussi à démontrer que les moyennes observées sont telles que M2 est vraisemblablement plus grande que M1. Comme la valeur de alpha choisie par l'expérimentateur est faible (maximum 5%), un RH0 signifie que la distance qui sépare les moyennes comparées est trop élevée pour être simplement due au hasard. Le risque de se tromper lorsque RH0 est donc très faible. Un RH0 permet à l'expérimentateur d'être quasiment certain que M2 est bien plus grand que M1 avec un risque de se tromper équivalent à alpha. Dans le cas d'une acceptation de H0 (AH0), rien ne permet à l'expérimentateur de dire que les moyennes sont différentes. Cette AH0 doit être considérée par l'expérimentateur comme une expérience non interprétable. A la différence de la "quasi certitude" au sujet de la conclusion tirée quand RH0, dans le cas d'une AH0, rien ne permet à l'expérimentateur d'être certain que les moyennes comparées sont effectivement identiques.

Si l'hypothèse alternative H1 est "M2 plus petit que M1"

Lorsque la valeur observée (Z observée ou t observée) est plus petite que la valeur théorique (Z(alpha) ou t(alpha)), alors H1 est acceptée (AH1) et H0 rejetée (RH0). Dans le cas d'un rejet de H0 (RH0), l'expérimentateur a la "quasi certitude" que M2 est plus petit que M1 avec une probabilité de se tromper de alpha (maximum 5%). Dans le cas d'une acceptation de H0 (AH0), l'expérimentateur n'a pas réussi à démontrer que M2 est plus petite que M1. Le doute est toujours possible.

Si l'hypothèse alternative H1 est "M2 différent de M1"

Lorsque la valeur observée (Z observée ou t observée) est SOIT plus petite que la valeur théorique (Z(alpha/2) ou t(alpha/2)), SOIT plus grande que la valeur théorique (Z(1-alpha/2) ou t(1-alpha/2)), alors H1 est respectée (AH1)et H0 rejetée (RH0). Dans le cas d'un rejet de H0 (RH0), l'expérimentateur a la "quasi certitude" que M2 est différent de M1 avec une probabilité de se tromper de alpha (maximum 5%). Dans le cas d'une acceptation de H0 (AH0), l'expérimentateur n'a pas réussi à démontrer que M2 est différent de M1. Le doute est toujours possible.

La réalisation d'un test d'Analyse de la Variance est une matière complexe, qui fera l'objet de plusieurs autres modules indépendants.

Pour savoir si vous devez ou non les parcourir, veuilelz vous référer au programme de votre section ou de votre finalité.

1. L'ANOVA 1 (module 140): principe, conditions d'utilisation, mise en oeuvre, interprétation et comparaison préalable des variances
2. Tests complémentaires:
1. Contrastes de Scheffé (module 150)
2. Contrastes orthogonaux (module 160) (pas au programme du cours 2002-3)
3. La régression dans l'ANOVA1 (module 170)
4. L'ANOVA 1 aléatoire (module 180)
5. L'ANOVA et les critères de classification (module 190)
6. L'ANOVA2 croisée fixe (module200)
7. L'ANOVA et les modèles (module 210)

1. comparer une moyenne à un standard
2. comparer deux échantillons issus de deux populations indépendantes
3. comparer deux échantillons pairés

Comparer une moyenne à un standard:

H0: M1 = M2 = Mx
ou bien	1	H1: M1 plus grand que M2 .
	2	H1: M1 plus petit que M2 .
	3	H1: M1 différent de M2 .

 

 

 

 

Si la variance de la population standard (VARx) est connue<		Si la variance de la population standard (VARx) est inconnue<
1	Z tables; (1-alpha)	1	t tables; (n-1) dl; (1-alpha)
2	Z tables; (alpha)	2	t tables; (n-1) dl; (alpha)
3	Z tables; (alpha/2) Z tables;(1-alpha/2)	3	t tables; (n-1) dl; (alpha/2) t tables;(n-1) dl; (1-alpha/2)

---

Comparer 2 moyennes d'échantillons provenant de 2 populations indépendantes:

H0: M1 = M2 = Mx
ou bien	1	H1: M1 plus grand que M2 .
	2	H1: M1 plus petit que M2 .
	3	H1: M1 différent de M2 .

 

 

 

 

Si les variances des populations (VAR1 et VAR2) sont connues		Si les variances des populations (VAR1 et VAR2) sont inconnues
1	Z tables; (1-alpha)	1	t tables; (n1+n2-2) dl; (1-alpha)
2	Z tables; (alpha)	2	t tables; (n1+n2-2) dl; (alpha)
3	Z tables; (alpha/2) Z tables;(1-alpha/2)	3	t tables; (n1+n2-2) dl; (alpha/2) t tables;(n1+n2-2) dl; (1-alpha/2)

---

Comparer deux moyennes (observations pairées)

H0: MD = delta	la moyenne des différences de la population de référence est nulle
H1: MD est différente de delta	la moyenne des différences de la population de référence est non nulle

 

 

 

 

 

La variance de la population (VARD) est toujours inconnue

t tables, (n-1) dl; (1-alpha/2) avec n nombre de couples

---

 

les hypothèses:

H0: M1 = M2 = Mx
ou bien	1	H1: M1 plus grand que M2 .
	2	H1: M1 plus petit que M2 .
	3	H1: M1 différent de M2 .

 

 

 

1	H1: M1 plus grand que M2 .
	AH0 si Z observé plus petit que Z (1-alpha) t observé plus petit que t (1-alpha)
	RH0 si Z observé plus grand que Z (1-alpha) t observé plus grand que t (1-alpha)

 

2	H1: M1 plus petit que M2 .
	AH0 si Z observé plus grand que Z (alpha) t observé plus grand que t (alpha)
	RH0 si Z observé plus petit que Z (alpha) t observé plus petit que t (alpha)

 

3	H1: M1 différent de M2 .
	AH0 si Z observé compris entre Z (alpha/2) et Z (1-alpha/2) t observé compris entre t (alpha/2) et t (1-alpha/2)
	RH0 si Z observé plus grand que Z (1-alpha/2) t observé plus grand que t (1-alpha/2) ou Z observé plus petit que Z (alpha/2) t observé plus petit que t (alpha/2)

 

1. Un laboratoire étudie l'influence d'un contraceptif X sur un groupe de 18 femmes de 25 ans. Chez la femme, au "jour 14 " du cycle menstruel, une augmentation de la concentration en LH (Luteinizing Hormone) induit l'ovulation. A ce stade précis, la concentration en LH est une v.a.N(14,5; 5,0625). Pour l'échantillon de 18 femmes, on obtient une moyenne de 13,03 mIU/ml et une variance de 6,32 (mIU/ml)². La prise du contraceptif X a-t-elle une influence (significative (alpha =5%) ou hautement significative (alpha =1%)) sur la concentration en LH et sur l'ovulation ? réponse

2. Des études comparatives sur la fécondité des femmes au sein de la communauté européenne ont été menées sur des femmes de 40 ans. Pour cela, un statisticien a réalisé deux échantillons: l'un (de 100 femmes) en France, l'autre (de 80 femmes), en Belgique. Il a obtenu une moyenne de 1,78 enfants / femme et une somme de carrés d'écarts (SCE) de 427,68 (enfants / femme)² pour l'échantillon français et une moyenne de 2,12 enfants / femme et une SCE de 281,24 (enfants / femme)² pour l'échantillon belge. Les femmes françaises sont-elles moins fécondes que leurs homologues belges? réponse

3. Dans une fabrication de boulons pour machines, l'ingénieur du contrôle-qualité trouve qu'un échantillon de taille n = 100 est nécessaire pour détecter des changements fortuits de 0,5mm dans la longueur moyenne du boulon fabriqué. Supposons qu'il souhaite une précision plus grande pour détecter un changement de 0,1mm seulement, avec les mêmes erreurs de type I et II. De combien doit-il augmenter la taille de son échantillon ? (c'est facile si on reformule le problème en terme d'intervalles de confiance. Pour construire un intervalle de confiance 5 fois plus précis, de combien doit-on augmenter la taille de l'échantillon ?) réponse

4. Des études de consommation ont été réalisées en Irlande et en Angleterre. Les dépenses en services médicaux et dépenses de santé représentaient, en 1985, respectivement 1,5% et 1% de la consommation totale des ménages. Sachant qu'en Europe, la variation des dépenses en services médicaux et dépenses de santé est de 1,9 (%²), combien de ménages doit-on étudier (alpha = 5%) dans ces deux pays pour montrer, dans 99% des cas, que la consommation totale en Irlande est supérieure à celle obtenue en Angleterre ? réponse

5. Pour deux catégories différentes de raisins (catégorie 1 et catégorie 2), on a observé l’acidité (pH) de 7 et de 11 grappes respectivement. On remarque que l’échantillon de la catégorie 1 a une acidité moyenne de 3.556 (variance 0.011) et celle de l’échantillon de la catégorie 2 est de 3.477 (variance 0.007). Testez si la différence est significative. réponse

6. Un procédé de fabrication courant a produit des millions de tubes T.V., dont la durée de vie moyenne est µ=1200 heures et l’écart-type σ = 300 heures. Un nouveau procédé, estimé meilleur par le bureau d’études, fournit un échantillon de 100 tubes avec une moyenne de 1265. Bien que cet échantillon fasse apparaître le nouveau procédé comme meilleur, s’agit-il d’un coup de chance de l’échantillonnage? réponse

7. Un enseignant réalise la même interrogation dans deux groupes de 17 étudiants d’une même section. Le groupe A obtient une moyenne sur 20 de 13,1 ± 4,16 et le groupe B obtient une moyenne de 10.8 ± 1,92. Les deux groupes sont-ils de force équivalente (avec un alpha de 5%)? Un troisième groupe (groupe C) de cette section de 17 individus est également testé et la moyenne obtenue vaut 9.8 ± 3.86. Le groupe C est-il moins fort que le groupe A (avec un alpha de 5% et de 1%)? En est-il de même par rapport au groupe B (avec un alpha de 5% et de 1%)? réponse

8. Un étudiant en biologie clinique désire comparer deux méthodes d'analyse des triglycérides sur 10 patients. Une moitié de chaque prélèvement est testée par la méthode A et il note une concentration moyenne de triglycérides de 102.3 mg/dl pour une variance de 7.68 (mg/dl)². L'autre moitié est testée par la méthode B et il observe une concentration moyenne de 107.5 mg/dl pour une variance de 6.23 (mg/dl)². En moyenne la différence enregistrée dans l'échantillon de 10 patients est de 3.75 mg/dl pour une variance de 13.2 (mg/dl)². Ces deux méthodes donnent-elles des résultats comparables avec un seuil de signification de 5%? Sinon, qu'en est-il à 1%? réponse

9. Un biologiste teste 2 techniques de mesure de température sur un troupeau de 30 vaches. La première technique utilise un thermomètre conventionnel au mercure et la seconde utilise un appareil à détection infrarouge à distance. Les 2 techniques donnent respectivement 38.7 ± 0.54 °C et 38.9 ± 0.64°C. La différence moyenne entre les deux techniques est de 0.16 ± 0.44°C. Quelles conclusions pouvez-vous tirer? réponse

10. Un physiologiste étudie l'influence du cadmium sur le taux de glucose dans le sang. Il remplit 2 bassins avec d'une part de l'eau de distribution et d'autre part de l'eau de distribution à laquelle on a ajouté une dose de 0.01mg de Cd par litre. 18 truites sont disposées dans ces 2 bassins et le taux de glucose dans le sang est mesuré après 2 heures d'incubation. Les résultats sont représentés dans le tableau ci-dessous:

Les variances attendues dans le bassin sans Cd étant de 5 et de 10 dans le bassin traité, le cadmium augmente-t-il la glycémie chez les truites (faire le test avec un seuil de signification de 5% et de 1%)? réponse

11. Apparentée aux races anglaises KERRY, DEVON, JERSEY, GUERNESEY, la race BRETONNE PIE NOIRE a été façonnée par le climat et le sol bretons. Cette race est exploitée en Bretagne et dans les départements limitrophes. Elle reste, parmi les races françaises, une de celles ayant le mieux conservé ses caractères originels, l’impact des croisements ayant été faible au siècle dernier.

De récents croisements ont été réalisés afin d'accroître ses performances au niveau de leur production de viande. Ci-dessous, voici les résultats des tests effectués sur des individus provenant du croisement de cette race avec une race déterminée.

Les différents croisements donnent-ils des résultats plus performants que la race pure (alpha de 5% et 1%)? [Note: considérer chaque ligne du tableau comme une nouvelle expérience]

12. Une industrie pharmaceutique désire tester trois stimulants de l'appétit (S1, S2, S3) en mesurant la capacité d'absorption de nourriture chez le rat. Quatre groupes de 12 rats sont constitués: le premier servant de témoin, les trois autres recevant respectivement les stimulants S1, S2 et S3. On mesure la quantité de nourriture (en kg) ingérée sur un mois. Que peut-on conclure?

On sait aussi que la variance factorielle est de16,90 et la variance résiduelle est de 1,13.

13. Un ornithologue s'intéresse à l'évolution d'une espèce d'oiseaux répartie dans trois sites géographiquement distincts A, B et C, et plus particulièrement aux différences morphologiques engendrées par les mécanismes d'isolement. A cet effet, il a mesuré la longueur des ailes (en mm) de 10 oiseaux capturés sur chaque site. Les barrières géographiques ont-elles engendré des différences morphologiques sur cette espèce?

On sait que la variance résiduelle: 4,31. [On considère que les échantillons sont comparables au niveau de la variabilité entre échantillons]

14. Douze parcelles de terrain sont divisées aléatoirement en 3 groupes. Le premier sert de témoin, les deux autres sont fertilisés respectivement avec les engrais A et B. Les rendements observés sont les suivants. Les engrais affectent-ils la production?

On sait que la variance expliquée est de 156 et que la variance non expliquée est de 17,3.

15. Pour définir l'impact de la nature du sol sur la croissance d'une plante X, un botaniste a mesuré la hauteur des plantes pour 4 types de sol. Pour chaque type de sol, il disposait de 3 réplicats.

16. Dans le cadre d'une étude écotoxicologique, la concentration en DDT et en ses dérivés a été mesurée chez des brochets de différents âges. Les résultats obtenus sont donnés, dans le tableau ci-dessous pour des échantillons de 11 individus chacun.

Sachant que la variance expliquée par l'âge des brochets est de 1,260770 et que la variance résiduelle est de 0,000672, que peut-on conclure sur cette étude? [source:http://www.obs-vlfr.fr/~enseigne/maitp6/solution_anova/anvexo3.htm]

1. Concentration en LH:

Test de conformité d'une moyenne (test de Z Unidirectionnel)

H0: µ1 = µ0

H1: µ1 < µ0

z_observé = -2,77

Pour α=5%, Z_tables = -1,64, donc on conclut RH0 car z_observé inférieur à Z_tables

Pour α=1% Z_tables = -2,33, donc on conclut RH0 car z_observé inférieur à Z_tables

Conclusion: La prise du contraceptif X provoque une diminution hautement significative de la concentration en LH. L'ovulation ne peut avoir lieu. [retour aux énoncés]

Homogénéité des variances:

H0: σ²₁ = σ²₂

H1: σ²₁ ≠ σ²₂

F_obs= (427,68/99) / (281,24/79) = 1,21

F_{0,975; 99dl; 79dl} = 1,53

F_obs < F_{0,975; 99dl; 79dl} donc il y a AH0 -> On n'a pas pu montrer que les variances étaient différentes. Le test d'hypothèses portant sur les moyennes est donc réalisable.

Test d'hypothèses:

Comparaison de 2 moyennes tirées d'échantillons indépendants (test de t unidirectionnel à gauche si nous prenons les femmes belges comme référence)

H0: µB = µF

H1: µB > µF

S_r²_obs=( 427,68+281,24)/(100+80-2) = 3,98

t_obs = (1,78-2,12)/(3,98*(1/100+1/80))^0,5= -1,136      NDLR: X^0,5= racine de x

t_{0,05; 178dl} = -1,653

t_obs supérieur à t_{0,05; 178dl} donc conclusion: AH0, nous n'avons pas pu montrer que les femmes françaises étaient moins fécondes que les femmes belges

Test unidirectionnel à droite (par exemple) avec une valeur critique

µ + valeur des tables*ET/(n)^0,5

Rendre l'intervalle de confiance 5 fois plus petit signifie que la valeur critique devient:

µ + valeur des tables*ET/(n)^0,5 * (1/5)

ou encore:

µ + valeur des tables*ET/(25*n)^0,5

et donc, l'échantillon doit être 25 fois plus grand. Soit 2500 pièces pour être sûr de voir une augmentation de l'écart à la normalité.

4. Consommation en Irlande et en Angleterre:

Sur base de l'énoncé on peut postuler : µ₀ = 1%; µ₁=1,5%; S²=1,9%²

La consultation de la dernière ligne de la table de Student nous donne les valeurs de z suivantes :
Z_1-alpha = Z_0,95 = 1,645
Z_1-beta = Z_0,99 = 2,326

En appliquant la formule disponible dans votre formulaire :

En prenant 120 ménages dans les deux pays étudiés, nous pourrons voir cette différence de dépenses.[retour aux énoncés]

5. Les raisins:

Test de comparaison de 2 moyennes tirées de 2 populations indépendantes.

1°) Test de l’homogénéité des variances

F_observé inférieur à F_tables donc on conclut AH0 (je n’ai pas pu montrer l'hétérogénéité des variances)

2°) Comparaison des moyennes:

t_observé inférieur à t_tables donc on conclut AH0 pour α=5%.

6. Un procédé de fabrication de tubes T.V.

Test de conformité d'une moyenne (test de Z Unidirectionnel)

H0: µ1=µ0

H1: µ1 supérieur à µ0

Z_observé= 2.17

5% Z_tables = 1.64 RH0 car Z_observé supérieur à Z_tables

Conclusion: Le nouveau procédé de fabrication possède une durée de vie significativement plus importante que l’ancien procédé.

[retour aux énoncés]

7. Un enseignant et ses groupes d’étudiants:

Test de comparaison de 2 moyennes tirées de 2 populations indépendantes.

A. Entre A et B:

1°) Test de l’homogénéité des variances

F_observé supérieur à F_tables donc on conclut RH0 (les variances ne sont pas identiques)

Impossible de comparer les moyennes tirées d’échantillons dont les variances sont hétérogènes.

B. Entre A et C:

1°) Test de l’homogénéité des variances

F_observé inférieur à F_tables donc on conclut AH0 (les variances sont homogènes)

2°) Comparaison des moyennes:

Le groupe A possède une moyenne significativement plus grande que la moyenne du groupe C. Ce test n’est pas hautement significatif.

C. Entre B et C:

1°) Test de l’homogénéité des variances

F_observé supérieur à F_tables donc on conclut RH0 (les variances ne sont pas identiques)

Impossible de comparer les moyennes tirées d’échantillons dont les variances sont hétérogènes.

8. Analyse des triglycérides:

Test de comparaison entre deux échantillons tirés de populations pairées (les mêmes patients, les mêmes prélèvements MAIS des méthodes différentes).

Les 2 méthodes d’analyses des triglycérides donnent des résultats très différents (différence très significative).

9. Techniques de mesure de température sur un troupeau de 30 vaches:

Test de comparaison entre deux échantillons tirés de populations pairées (les mêmes vaches, les mêmes températures MAIS des techniques différentes).

Nous n'avons pas pu montrer que les 2 techniques d’analyses de la température donnaient des résultats différents.

10. Influence du cadmium sur le taux de glucose dans le sang chez la truite:

Nous pouvons donc réaliser un test de comparaison de 2 moyennes tirées de 2 populations indépendantes et rechercher un Z observé (car les variances des populations avec et sans Cd sont connues et valent respectivement 5 et 10 (mg de glucose/l)² ).

Le Cd augmente la glycémie de manière hautement significative (RH0 à alpha = 1%)