Exercice 1:
Soit une population de chauves-souris dont on connait la longueur moyenne des oreilles (µ=23 mm). On prélève un échantillon de 21 chauves-souris dont la longueur moyenne des oreilles est de 22,34 mm avec une variance de 49 mm2. La moyenne de cet échantillon se situe-t-elle dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population ?
Correction :
On ne connait pas la variance de la population (σ2), donc on l'estime avec la valeur de la variance de l'échantillon : S2 = 49 mm2, ce qui donne un écart-type S = 7 mm.
Avec ces données on peut calculer un t observé = 22,34-23/(7/racine de 21) = -0,432.
Cette valeur de t est associée à un certain nombre de degrés de liberté : si l'échantillon est composé de 21 individus, le degré de liberté est de n-1=21-1=20.
L'intervalle comprenant les 95% des valeurs les plus fréquentes autour de la moyenne de la population va donc de t20;0,025 à t20;0,975.
La lecture de la table de Student nous donne les valeurs suivantes :
t20;0,975 = 2,086 (ligne 20, colonne 0,975).
La distribution de Student étant symétrique par rapport à sa moyenne on a :
t20;0,025 = -2,086
Notre valeur de t observé = -0,432. Elle est donc bien comprise dans cet intervalle, et on peut donc conclure que la moyenne de cet échantillon se situe effectivement dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population.
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Exercice 2:
Soit une population de chauves-souris dont on connait la longueur moyenne des oreilles (µ=23 mm). On prélève un échantillon de 21 chauves-souris dont la longueur moyenne des oreilles est de 20,5 mm avec une variance de 16 mm2. La moyenne de cet échantillon se situe-t-elle dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population ?
Correction :
On ne connait pas la variance de la population (σ2), donc on l'estime avec la valeur de la variance de l'échantillon : S2 = 16 mm2, ce qui donne un écart-type S = 4 mm.
Avec ces données on peut calculer un t observé = 20,5-23/(4/racine de 21) = -2,864.
Cette valeur de t est associée à un certain nombre de degrés de liberté : si l'échantillon est composé de 21 individus, le degré de liberté est de n-1=21-1=20.
L'intervalle comprenant les 95% des valeurs les plus fréquentes autour de la moyenne de la population va donc de t20;0,025 à t20;0,975.
La lecture de la table de Student nous donne les valeurs suivantes :
t20;0,975 = 2,086 (ligne 20, colonne 0,975).
La distribution de Student étant symétrique par rapport à sa moyenne on a :
t20;0,025 = -2,086
Notre valeur de t observé = -2,864. Elle n'est donc pas comprise dans cet intervalle, et on peut donc conclure que la moyenne de cet échantillon ne se situe pas dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population.
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Exercice 3:
Pour une population de vipères à collier adultes, on enregistre une longueur moyenne de corps de 130 cm. Sachant qu'on prélève un échantillon de 9 individus dont la longueur moyenne est de 133,33 cm avec une variance de 81 cm2. La moyenne de cet échantillon se situe-t-elle dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population ? Qu'en est-il avec un autre échantillon de 9 individus dont la moyenne vaut 139 cm et de même variance que le précédent ?
Correction :
Pour une moyenne m=133,33:
On ne connait pas la variance de la population (σ2), donc on l'estime avec la valeur de la variance de l'échantillon : S2 = 81 cm2, ce qui donne un écart-type S = 9 cm.
Avec ces données on peut calculer un t observé = 133,33-130/(9/3) = 1,11.
Cette valeur de t est associée à un certain nombre de degrés de liberté : si l'échantillon est composé de 9 individus, le degré de liberté est de n-1=9-1=8.
L'intervalle comprenant les 95% des valeurs les plus fréquentes autour de la moyenne de la population va donc de t8;0,025 à t8;0,975.
La lecture de la table de Student nous donne les valeurs suivantes :
t8;0,975 = 2,306 (ligne 8, colonne 0,975).
La distribution de Student étant symétrique par rapport à sa moyenne on a :
t8;0,025 = -2,306
Notre valeur de t observé = 1,11. Elle est donc bien comprise dans cet intervalle, et on peut donc conclure que la moyenne de cet échantillon se situe effectivement dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population.
Pour une moyenne m=139:
On ne connait pas la variance de la population (σ2), donc on l'estime avec la valeur de la variance de l'échantillon : S2 = 81 cm2, ce qui donne un écart-type S = 9 cm.
Avec ces données on peut calculer un t observé = 139-130/(9/3) = 3.
Cette valeur de t est associée à un certain nombre de degrés de liberté : si l'échantillon est composé de 9 individus, le degré de liberté est de n-1=9-1=8.
L'intervalle comprenant les 95% des valeurs les plus fréquentes autour de la moyenne de la population va donc de t8;0,025 à t8;0,975.
La lecture de la table de Student nous donne les valeurs suivantes :
t8;0,975 = 2,306 (ligne 8, colonne 0,975).
La distribution de Student étant symétrique par rapport à sa moyenne on a :
t8;0,025 = -2,306
Notre valeur de t observé = 3. Elle n'est donc pas comprise dans cet intervalle, et on peut donc conclure que la moyenne de cet échantillon ne se situe pas dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population. Retour aux énoncés
