Détail du calcul des probabilités

Pour X v.a.Bi (n; ), la probabilité d'un événement unique s'écrit: P(A)=^x.(1-)^(n-x)

Exemple: soit une famille de 12 enfants :

Soit G "être un garçon" et F "être une fille"

Avec P(G)=0,52 et P(F)=0,48

Soit l'événement unique A=FFFFGGGGGGGG alors P(A)=0,48⁴.0,52⁸

Combinaisons de résultats :

On s'intéresse généralement à une probabilité du type P(X=4), où X représente le nombre de filles dans une famille de 12 enfants, qui correspond à de nombreuses combinaisons de filles et de garçons :

FGFFGGGFGGGG, GGGGGGFGFGFF, GGFFGFGGGFGG, etc.

Pour calculer le nombre de combinaisons, on emploie la formule combinatoire suivante:

Dans notre exemple, il existe 12!/(4!.(12-4)!) soit 495 possibilités de combinaisons de 4 filles et 8 garçons dans une famille de 12 enfants.

Détermination de la probabilité P(X = xi) :

La probabilité d'avoir 4 filles dans une famille de 12 enfants tient compte du nombre de combinaisons possibles d'avoir 4 filles, multiplié par la probabilité d'un événement unique.

La formule est donc:

Dans une famille de 12 enfants, la probabilité d'avoir 4 filles [P(X = 4)] vaut:

P(X = 4) = 495.0,48⁴.0,52⁸= 0,14

Calculer les probabilités avec les tables de probabilités

Les tables de probabilités sont un outil qui dispense, dans de nombreux cas (dont ceux énoncés dans les exercices de ce site) de calculer les probabilités associées à la loi Binomiale en calculant toutes les étapes avec des formules.

La table de probabilités de la distribution binomiale est disponible sous le lien "Tables" présent sur toutes les bannières des pages de ce site. Elle décrit les probabilités cumulées associées à différentes situations. Exemple : Dans la table n=10, colonne 0,25, ligne 4 on trouve P(X≤4) dans une binomiale Bi(10;0,25) et dans ce cas P(X≤4) = 0,9219 .

Avec les tables, réalisons les exercices suivants :

Sur 10 lancers d'une pièce équilibrée (donc p(pile)=p(face)=0,5) :

Exercice 1 : quelle est la probabilité d'obtenir maximum 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X≤3) = 0,1719 (Table n=10, colonne 0,5, ligne 3)

Exercice 2 : quelle est la probabilité d'obtenir moins de 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X<3) = P(X≤2) = 0,0547 (Table n=10, colonne 0,5, ligne 2)
P(X<3) = P(X≤2) car la table est cumulée : donc en face de 3 il y a P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) et comme on est dans une distribution discrète il n'y a pas de valeurs entre 2 et 3 donc P(X<3) = P(X≤2).

Exercice 3 : quelle est la probabilité d'obtenir minimum 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X≥3) = 1 - p(X≤2) = 1 - 0,0547 = 0,9453 (p(X≤2) =0,0547 : Table n=10, colonne 0,5, ligne 2).
La table ne donne que des probabilités du genre P(X≤x) donc pour résoudre les exercices avec les tables il faut simplifier son équation afin de n'avoir plus que des termes de ce type. Ici P(X≥3) = 1 - p(X≤2).

Exercice 4 : quelle est la probabilité d'obtenir plus de 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X>3) = 1 - p(X≤3) = 1 - 0,1719 = 0,8281

Exercice 5 : quelle est la probabilité d'obtenir entre 3 et 5 fois la face pile ?
Résolution : P(3≤X≤5) = p(X≤5) - p(X≤2) = 0,6230 - 0,0547 = 0,5683