Module 50:

La distribution de probabilité d'une variable discrète (discontinue) de type binomiale fait intervenir n répétitions indépendantes. Elle implique la présence de seulement deux types de résultats: A (succès) et A* (échec) avec une probabilité de A égale à une constante .

Soit X une variable binomiale. Elle se caractérise par n (le nombre de répétitions indépendantes) et (la probabilité de A) et s'écrit:

X v.a. Bi (n; )

ou bien

X = Bi (n; )

L'espérance de X est: E(X) = n.

La variance est VAR(X) = σ²= n..(1-)

• Le nombre de fois que l'on fait 6 en lançant n fois un dé à 6 faces non pipé
• Le nombre de drosophiles mâles dans des expériences portant sur n individus
• Le nombre de chauves-souris Grand Rhinolophe de plus de 380 mm d'envergure parmi n individus capturés

Détail du calcul des probabilités

Pour X v.a.Bi (n; ), la probabilité d'un événement unique s'écrit: P(A)=^x.(1-)^(n-x)

Exemple: soit une famille de 12 enfants :

Soit G "être un garçon" et F "être une fille"

Avec P(G)=0,52 et P(F)=0,48

Soit l'événement unique A=FFFFGGGGGGGG alors P(A)=0,48⁴.0,52⁸

Combinaisons de résultats :

On s'intéresse généralement à une probabilité du type P(X=4), où X représente le nombre de filles dans une famille de 12 enfants, qui correspond à de nombreuses combinaisons de filles et de garçons :

FGFFGGGFGGGG, GGGGGGFGFGFF, GGFFGFGGGFGG, etc.

Pour calculer le nombre de combinaisons, on emploie la formule combinatoire suivante:

Dans notre exemple, il existe 12!/(4!.(12-4)!) soit 495 possibilités de combinaisons de 4 filles et 8 garçons dans une famille de 12 enfants.

Détermination de la probabilité P(X = xi) :

La probabilité d'avoir 4 filles dans une famille de 12 enfants tient compte du nombre de combinaisons possibles d'avoir 4 filles, multiplié par la probabilité d'un événement unique.

La formule est donc:

Dans une famille de 12 enfants, la probabilité d'avoir 4 filles [P(X = 4)] vaut:

P(X = 4) = 495.0,48⁴.0,52⁸= 0,14

Calculer les probabilités avec les tables de probabilités

Les tables de probabilités sont un outil qui dispense, dans de nombreux cas (dont ceux énoncés dans les exercices de ce site) de calculer les probabilités associées à la loi Binomiale en calculant toutes les étapes avec des formules.

La table de probabilités de la distribution binomiale est disponible sous le lien "Tables" présent sur toutes les bannières des pages de ce site. Elle décrit les probabilités cumulées associées à différentes situations. Exemple : Dans la table n=10, colonne 0,25, ligne 4 on trouve P(X≤4) dans une binomiale Bi(10;0,25) et dans ce cas P(X≤4) = 0,9219 .

Avec les tables, réalisons les exercices suivants :

Sur 10 lancers d'une pièce équilibrée (donc p(pile)=p(face)=0,5) :

Exercice 1 : quelle est la probabilité d'obtenir maximum 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X≤3) = 0,1719 (Table n=10, colonne 0,5, ligne 3)

Exercice 2 : quelle est la probabilité d'obtenir moins de 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X<3) = P(X≤2) = 0,0547 (Table n=10, colonne 0,5, ligne 2)
P(X<3) = P(X≤2) car la table est cumulée : donc en face de 3 il y a P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) et comme on est dans une distribution discrète il n'y a pas de valeurs entre 2 et 3 donc P(X<3) = P(X≤2).

Exercice 3 : quelle est la probabilité d'obtenir minimum 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X≥3) = 1 - p(X≤2) = 1 - 0,0547 = 0,9453 (p(X≤2) =0,0547 : Table n=10, colonne 0,5, ligne 2).
La table ne donne que des probabilités du genre P(X≤x) donc pour résoudre les exercices avec les tables il faut simplifier son équation afin de n'avoir plus que des termes de ce type. Ici P(X≥3) = 1 - p(X≤2).

Exercice 4 : quelle est la probabilité d'obtenir plus de 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X>3) = 1 - p(X≤3) = 1 - 0,1719 = 0,8281

Exercice 5 : quelle est la probabilité d'obtenir entre 3 et 5 fois la face pile ?
Résolution : P(3≤X≤5) = p(X≤5) - p(X≤2) = 0,6230 - 0,0547 = 0,5683

Soit une étude portant sur des familles de 10 enfants. On sait que la probabilité d'avoir une fille ou un garçon est identique. Quelle est la probabilité pour que:

1. 2 d'entre eux soient des filles (combien de combinaisons sont possibles?)
2. une famille ne comporte pas plus de 2 garçons
3. une famille comporte au minimum 2 filles

1. P(X = 2) :
Calcul avec les formules : P(X = 2) = (10! / (2!*8!)) * 0,5² * (1-0,5)^(10-2) = 0,0439 pour 45 combinaisons possibles.
Calcul avec les tables : P(X = 2) = P(X≤2) - P(X≤1) = 0,0547 - 0,0107 =0,044

2. P(X≤2) :
Calcul avec les formules : P(X≤2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) Serait trop long a calculer avec la méthode ci-dessous, préférons donc la méthode des tables, qui permet une lecture directe :
Lecture des tables : P(X≤2) = 0,0547

3. P(X≥2) :
Calcul avec les tables : = 1- P(X≤1) = 1 - 0,0107 = 0,9893

1. Dans une population donnée, la probabilité de trouver le gène Z actif est de 50%. Soit X le nombre de patients possédant ce gène Z actif. Une expérience a été menée sur un échantillon de 25 personnes (arrondir les réponses à deux décimales significatives).

- Quelle est la probabilité de déceler la présence d'un gène inactif chez 10 personnes au moins dans cette expérience?
solution: P(X10) = 1-P(X9)=1 - 0.1148= 0.89
- Quelle est la probabilité de trouver 5 personnes possédant ce gène Z actif? Combien de combinaisons sont possibles?
solution: P(X=5) = P(X≤5)-P(X≤4)= 0,0020 - 0,0005 = 0,0015 ; 53 130 combinaisons possibles

2. Un examen de statistique rencontre un taux d'échec de 35%. Quelle est la probabilité que, sur 10 étudiants sélectionnés aléatoirement dans l'auditoire, il y ait:

- Plus de 2 étudiants en échec?
solution: P(X>2) = 0,74

- Plus de 5 étudiants en échec?
solution: P(X>5) = 0,095


3. Une rivière comporte une population d'écrevisses. Un écologiste réalise une expérience en disposant tous les 10 mètres une nasse à écrevisses. Il en place ainsi 25 et les numérote de 1 à 25. Sachant que pour cette rivière, il n'y a que 15% de chances de relever une nasse vide:

- Déterminer la probabilité de relever 3 nasses vides?
solution: P(X=3) = 0,22

- Si l'écologiste relève 2 nasses vides sur les 25, combien de combinaisons sont possibles?
solution : 300 combinaisons possibles