Soit A la matrice à diagonaliser, L1, L2, L3 … les matrices d’opérations élémentaires sur les lignes, dans l’ordre de leur exécution et C1, C2, C3… les matrices d’opérations élémentaires sur les colonnes. La succession des opérations s’écrit de la façon suivante :

			L1	A
			L1	A	C1
		L2	L1	A	C1
	L3	L2	L1	A	C1	C2
L4	L3	L2	L1	A	C1	C2	C3

Le produit matriciel n’étant pas commutatif, les opérations à gauche se succèdent de droite à gauche et les opérations à droite de gauche à droite.

Le produit matriciel étant associatif, le produit L4 L3 L2 L1 peut être effectué et stocké dans L , le produit C1 C2 C3 peut être effectué et stocké dans C, … à l’infini.

Lorsque l’ensemble des opérations élémentaires aboutit à la diagonalisation de A, l’opération peut être réalisée par le produit L A C = Q(r)

Q(r) est une matrice remplie de 0, la diagonale principale comportant r valeurs 1, r étant le rang de la matrice A. Le rang est le nombre de dimensions nécessaires pour représenter A dans l’espace. Si A est carrée p x p et de rang complet (non singulière, r = p) la matrice Q(r) est la matrice identité p x p.

Exemple pour une matrice non symétrique :

Par facilité, l’exemple est pris sur une matrice carrée A, mais elle pourrait être rectangulaire.

A

2 4 6 4 8 12 1 2 3

Opérations élémentaires sur les lignes :

1 0 0 -2 1 0 0 0 1	1 0 -2 0 1 0 0 0 1	0 0 1 0 1 0 1 0 0
L1	L2	L3

Opérations élémentaires sur les colonnes :

1 0 0 0 0,5 0 0 0 1	1 0 0 0 1 0 0 0 0,3	1 -1 0 0 1 0 0 0 1	1 0 -1 0 1 0 0 0 1
C1	C2	C3	C4

Synthèse  :

L	A	C		Q(r)
0 0 1 -2 1 0 1 0 -2	2 4 6 4 8 12 1 2 3	1 -1 -1 0 0,5 0 0 0 0,3	=	1 0 0 0 0 0 0 0 0

La matrice A est de rang 1.

Toutes les matrices d’opération élémentaire ayant un inverse, L^-1et C^-1 existent, et

L^-1 L A C C^-1 = I A I = A = L^-1 Q(r) C^-1 ce qui montre que l’historique des changements est bien stocké et que l’opération est réversible.

L-1	Q(r)	C-1		A
2 0 1 4 1 2 1 0 0	1 0 0 0 0 0 0 0 0	1 2 3 0 2 0 0 0 3	=	2 4 6 4 8 12 1 2 3

Exemple pour une matrice symétrique :

A

2 4 6 4 8 12 6 12 3

Opérations élémentaires sur les lignes :

1 0 0 -2 1 0 0 0 1	1 0 -2 0 1 0 0 0 1	1 0 0 0 1 0 0 0 0,6	0,3 0 0 0 1 0 0 0 1	1 0 0 0 0 1 0 1 0
L1	L2	L3	L4	L5

Opérations élémentaires sur les colonnes :

1 -2 0 0 1 0 0 0 1	1 0 0 0 1 0 -2 0 1	1 0 0 0 1 0 0 0 0,6	0,3 0 0 0 1 0 0 0 1	1 0 0 0 0 1 0 1 0
C1	C2	C3	C4	C5

Synthèse  :

L	A	C		Q(r)
0,3 0 0,6 0 0 0,6 -2 1 0	2 4 6 4 8 12 6 12 3	-0,3 0 -2 0 0 1 0,6 0,6 0	=	-1 0 0 0 1 0 0 0 0

La matrice A est de rang 2. L étant égale a C’, l’opération inverse montre que la matrice A est entièrement stockée dans la matrice L.

L-1	Q(r)	L'-1		A
-3,2 3,5 0 -6,3 6,9 1 0 1,7 0	-1 0 0 0 1 0 0 0 0	-3,2 -6,3 3 3,5 6,9 1,7 0 1 0	=	2 4 6 4 8 12 6 12 3