Module 240:

La diagonalisation des matrices est à la base du calcul des valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice symétrique.

Ce calcul est le noyau central de l’analyse factorielle, qui comprend une famille de techniques de représentation des données dans un espace réduit.

L’objectif de ce module est d’ouvrir au maximum, tout en restant le plus simple possible, cette « boîte noire »…..

Opérations élémentaires :

Avant d'aller plus loin il convient de connaître les opérations élémentaires nécessaires pour diagonaliser une matrice.

Trois opérations élémentaires permettent en effet de modifier le contenu d'une matrice A tout en gardant la mémoire de ces changements et en permettant de refaire le chemin en sens inverse.

Les matrices associées à ces opérations sont des matrices identités (donc carrées) dont un seul élément est modifié. Elles opèrent les lignes en multiplication par la gauche, et les colonnes en multiplication par la droite.

Ces trois opérations sont:

1. Multiplication d'une ligne ou d'une colonne par une constante
2. Permutation de deux lignes ou de deux colonnes
3. Combinaison linéaire de deux lignes ou de deux colonnes

Multiplication d'une ligne par une constante :

Remplacement d'un élément de la diagonale par un scalaire, retour à la situation initiale en multipliant par son inverse.

Exemple avec des matrices interactives: les cellules à fond blanc sont interactives: vous pouvez en changer les valeurs, et visualiser le résultat directement dans les cellules à fond gris.
NB: pour valider un changement de valeur: "enter" dans firefox, "tab" dans safari et internet-explorer. Utiliser le point comme symbole décimal.

Multiplication d'une colonne par une constante :

Remplacement d'un élément de la diagonale par un scalaire, retour à la situation initiale en multipliant par son inverse.

Exemple avec des matrices interactives: les cellules à fond blanc sont interactives: vous pouvez en changer les valeurs, et visualiser le résultat directement dans les cellules à fond gris.
NB: pour valider un changement de valeur: "enter" dans firefox, "tab" dans safari et internet-explorer. Utiliser le point comme symbole décimal.

Permutation de 2 lignes :

Permutations des éléments de la diagonale correspondante, retour à la situation initiale en multipliant par la même matrice.

Exemples: en inversant les lignes 2 et 3 de la matrice identité (matrice bleue) vous inversez les lignes 2 et 3 de la matrice de départ.
En encodant 1 0 0 0 en ligne 1, 0 0 0 1 en ligne 2, 0 0 1 0 en ligne 3, et 0 1 0 0 en ligne 4 vous permutez les lignes 2 et 4. Et ainsi de suite.

Exemple avec des matrices interactives: Les cellules à fond blanc sont interactives: Vous pouvez en changer les valeurs, et visualiser le résultat directement dans les cellules à fond gris.
NB: pour valider un changement de valeur: "enter" dans firefox, "tab" dans safari et internet-explorer. Utiliser le point comme symbole décimal.
NB: Pour la matrice à chiffres bleus, le fond n'est blanc que si il y a 1 et 1 seule valeur unitaire sur 1 ligne, en dehors de la diagonale, et que les autres éléments de la ligne sont nuls.

Permutation de 2 colonnes :

Permutations des éléments de la diagonale correspondante, retour à la situation initiale en multipliant par la même matrice.

Exemple avec des matrices interactives: Les cellules à fond blanc sont interactives: Vous pouvez en changer les valeurs, et visualiser le résultat directement dans les cellules à fond gris.
NB: pour valider un changement de valeur: "enter" dans firefox, "tab" dans safari et internet-explorer. Utiliser le point comme symbole décimal.
NB: Pour la matrice à chiffres bleus, le fond n'est blanc que si il y a 1 et 1 seule valeur unitaire sur 1 ligne, en dehors de la diagonale, et que les autres éléments de la ligne sont nuls.

Combinaison linéaire de 2 lignes :

Exemple de départ: La ligne 4 est multipliée par 3 et additionnée à la ligne 2. Le résultat est stocké en ligne 2.

• La ligne 4 est multipliée par 3 : car le scalaire introduit dans la matrice identité est 3.
• C'est la ligne 4 qui est multipliée : car le scalaire est placé en colonne 4.
• Le résultat est additionné à la ligne 2 et stocké en ligne 2 : car le scalaire est placé en ligne 2.
• L'opération inverse est obtenue en plaçant -3 à la même position.

Exemple avec des matrices interactives: Les cellules à fond blanc sont interactives: Vous pouvez en changer les valeurs, et visualiser le résultat directement dans les cellules à fond gris.
NB: pour valider un changement de valeur: "enter" dans firefox, "tab" dans safari et internet-explorer. Utiliser le point comme symbole décimal.

Combinaison linéaire de 2 colonnes :

Cette fois la matrice identité modifiée est placée au-dessus, de manière à ce que la modification s'applique sur une colonne.

Exemple de départ: La colonne 4 est multipliée par 2 et additionnée à la colonne 1. Le résultat est stocké en colonne 1.

• La colonne 4 est multipliée par 2 : car le scalaire introduit dans la matrice identité est 2.
• C'est la colonne 4 qui est multipliée : car le scalaire est placé en ligne 4.
• Le résultat est additionné à la colonne 1 et stocké en colonne 1 : car le scalaire est placé en colonne 1.
• L'opération inverse est obtenue en plaçant -2 à la même position.

Exemple avec des matrices interactives: Les cellules à fond blanc sont interactives: Vous pouvez en changer les valeurs, et visualiser le résultat directement dans les cellules à fond gris.
NB: pour valider un changement de valeur: "enter" dans firefox, "tab" dans safari et internet-explorer. Utiliser le point comme symbole décimal.