Norme et angles
Examinons le produit A’A de la matrice A constituée des 3 vecteurs colonnes représentés en rouge, bleu et vert:
| |
|
A |
|
| 10 |
2,83 |
0 |
| 2,83 |
1 |
2,83 |
| 0 |
2,83 |
40 |
|
A'A |
A' |
|
|
Tableau 8: 1 Coordonnées, norme et produit scalaire
de 3 vecteurs (représentation graphique ci-dessous)
La diagonale de la matrice correspond à la forme quadratique de chaque vecteur. En appliquant le théorème de Pythagore, la somme des carrés des coordonnées du vecteur correspond au carré de sa longueur (norme du vecteur). Noter le vecteur bleu de norme et de longueur égales à l’unité.
Le produit scalaire entre les vecteurs est lié au cosinus de l’angle formé par leur représentation géométrique sur la figure ci-dessous. Le seul qui nous intéresse ici est le produit scalaire nul entre les vecteurs rouge et vert, qui forment un angle droit.
Figure 8 : 1 Représentation géométrique des vecteurs de la table ci-dessus
matrice orthogonale :
Une matrice orthogonale C est une matrice carrée telle que C-1 = C’
Cette matrice nous intéresse dans la mesure où elle est capable d’effectuer une rotation orthogonale d’un jeu de vecteurs dans un espace.
Considérons le produit matriciel suivant :
Le produit donnant une matrice I , C’ est bien l’inverse de C.
Considérons à présent que les valeurs de C correspondent à la matrice
Cos(45°) |
Sin(45°) |
-Sin(45°) |
Cos(45°) |
Et regardons le résultat du produit CA , puis (CA)’(CA) :
| |
|
| 1,00 |
0,71 |
6,00 |
| 3,00 |
0,71 |
-2,00 |
|
A |
| C |
|
| 2,83 |
1,00 |
2,83 |
| 1,41 |
0,00 |
-5,66 |
|
CA |
| |
| 2,83 |
1,41 |
| 1,00 |
0,00 |
| 2,83 |
-5,66 |
|
| 10 |
2,83 |
0 |
| 2,83 |
1 |
2,83 |
| 0 |
2,83 |
40 |
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(CA)'(CA) |
Constatons que le produit (CA)’(CA) est IDENTIQUE au produit A’A ci-dessus. La longueur des vecteurs et les angles qu’ils forment entre eux sont IDENTIQUES.
Constatons sur le graphique la rotation de 45° du jeu de vecteurs :
Figure 8-2: Le produit de A par la matrice orthogonale C a donc effectué une rotation de 45° en préservant sans aucune distorsion de l’espace.
La rotation orthogonale joue un rôle essentiel en analyse mutlivariée.
Vous êtes invités à télécharger le fichier Excel pour généraliser cette constatation à différents angles.
