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Le produit matriciel AB est la généralisation du produit scalaire entre les lignes de A et les colonnes de B.
Imaginons qu’une association de consommateurs teste le prix de 4 listes d’achats dans 3 magasins M1, M2, M3.
Client |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
pains |
2 |
0 |
10 |
0 |
kg jambon |
0,3 |
3 |
0 |
6 |
bac de bière |
1 |
2 |
5 |
0 |
bouteille d’eau |
6 |
16 |
0 |
24 |
Vidanges à rendre |
0 |
0 |
0 |
0 |
Prix (€) |
M1 |
M2 |
M3 |
|
1 pain |
2 |
1,8 |
2,2 |
1 kg jambon |
10 |
15 |
8 |
1 bac de bière |
12 |
11 |
12 |
1 bouteille d’eau |
1 |
1,5 |
0,8 |
1 vidange |
-0,1 |
-0,1 |
-0,1 |
Soit A la matrice des quantités de genre 5 x 4 et B 5 x3 la matrice des prix unitaires.
| 2 |
0 |
10 |
0 |
| 0,3 |
3 |
0 |
6 |
| 1 |
2 |
5 |
0 |
| 6 |
16 |
0 |
24 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
| 2 |
1,8 |
2,2 |
| 10 |
15 |
8 |
| 12 |
11 |
12 |
| 1 |
1,5 |
0,8 |
| -0,1 |
-0,1 |
-0,1 |
|
| |
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|
A |
|
B |
Le prix à payer par chaque client dans chaque magasin est donné par le produit A’B = C
A’ : 4 x 5, B : 5 x 3, C : 4 x 3
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| 2 |
1,8 |
2,2 |
| 10 |
15 |
8 |
| 12 |
11 |
12 |
| 1 |
1,5 |
0,8 |
| -0,1 |
-0,1 |
-0,1 |
|
B |
|
| |
M1 |
M2 |
M3 |
| Client 1: |
25 |
28,1 |
23,6 |
| Client 2: |
70 |
91 |
60,8 |
| Client 3: |
80 |
73 |
82 |
| Client 4: |
84 |
126 |
67,2 |
|
|
| 2 |
0,3 |
1 |
6 |
0 |
| 0 |
3 |
2 |
16 |
0 |
| 10 |
0 |
5 |
0 |
0 |
| 0 |
6 |
0 |
24 |
0 |
|
| 25 |
28,1 |
23,6 |
| 70 |
91 |
60,8 |
| 80 |
73 |
82 |
| 84 |
126 |
67,2 |
|
C=A'B |
-> |
|
A' |
|
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La liste d’articles dans la liste d’achat doit forcément correspondre élément par élément à la liste d’articles dans la liste de prix : le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B.
La faisabilité d’un produit matriciel et le genre de la matrice produite se lit aisément en représentant les genres par un jeu de dominos :
A’ : 4 x 5 |
B : 5 x 3 |
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les extrémités en contact correspondent:
le produit A'B est possible et la matrice produite aura pour genre les valeurs extérieures. |
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C : 4 x 3 |
|
| |
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|
B : 5 x 3 |
A’ : 4 x 5 |
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les extrémités en contact ne correspondent pas :
le produit BA' est impossible. |
Le produit matriciel n’est donc pas commutatif: A'B ≠ BA'. Par la contrainte du genre des partenaires, il ne pourrait l’être qu’entre matrices carrées, mais ce n’est pas le cas, sauf particularité.
Par contre la transposée du produit AB peut s’écrire B'A'= (AB)'
Exemple: B'A=(A'B)'
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| 2 |
0 |
10 |
0 |
| 0,3 |
3 |
0 |
6 |
| 1 |
2 |
5 |
0 |
| 6 |
16 |
0 |
24 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
|
A |
|
|
|
| 2 |
10 |
12 |
1 |
-0,1 |
| 1,8 |
15 |
11 |
1,5 |
-0,1 |
| 2,2 |
8 |
12 |
0,8 |
-0,1 |
|
| 25 |
70 |
80 |
84 |
| 28,1 |
91 |
73 |
126 |
| 23,6 |
60,8 |
82 |
67,2 |
|
B'A |
est la transposée de |
A'B |
| 25 |
28,1 |
23,6 |
| 70 |
91 |
60,8 |
| 80 |
73 |
82 |
| 84 |
126 |
67,2 |
|
B' |
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Exemple interactif de produit matriciel :
Les deux matrices à fond blanc sont interactives: vous pouvez changer les valeurs dans les cellules, et visualiser le résultat directement dans la matrice à fond gris.
NB: pour valider un changement de valeur: "enter" dans firefox, "tab" dans safari et internet-explorer. Utiliser le point comme symbole décimal
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