Test de comparaison d'une moyenne d'un échantillon par rapport à une population standard

Principe:

Un échantillon est prélevé et sa moyenne est calculée (mx). Cet échantillon provient-il d'une population 1 déterminée de moyenne M1 (ou µ1) ou bien appartient-il à une seconde population appelée population 2 de moyenne M2? Autrement dit, cet échantillon est-il conforme à la population d'origine?

Les hypothèses:

Hypothèse nulle H0:

H0: M1 = M2 = mx

la moyenne de l'échantillon appartient à la population de référence de moyenne M1

Hypothèse alternative H1:

H1: M1 < M2 .

l'échantillon appartient à une population dont la moyenne M2 est supérieure à la moyenne M1 de la population de référence

ou encore

H1: M1 > M2 .

l'échantillon appartient à une population dont la moyenne M2 est inférieure à la moyenne M1 de la population de référence

ou encore

H1: M1 ≠ M2 .

l'échantillon appartient à une population dont la moyenne M2 est différente de la moyenne M1 de la population de référence

Calculer la valeur observée:

Cas 1: la variance de la population de référence est connue:

La réduction de la moyenne de l'échantillon peut se faire par le calcul d'une valeur de Z observée dont la formule est la suivante:

Où mx est la moyenne de l'échantillon; Mx est la moyenne de la population de référence; VARx est la variance de la population de référence; n est la taille de l'échantillon.

Trouvez dans les tables de Z, la (les) valeur(s) seuil en tenant compte de alpha et de H1.

AH0 (et donc RH1)	L'échantillon de moyenne mx appartient à la population de référence dont la moyenne est M1
RH0 (et donc AH1)	L'échantillon de moyenne mx n'appartient pas à la population de référence dont la moyenne est M1 mais à une population dont la moyenne M2 est plus grande OU plus petite que celle de la population de référence de moyenne M1.

Cas 2: la variance de la population de référence est inconnue:

Dans ce cas, il n'est plus possible de calculer directement une valeur de z observée car il nous manque la valeur de la variance de la population de référence VARx.

Cependant, il est possible d'adapter cette formule en remplaçant VARx par une approximation de celle-ci. Cette approximation est donnée par l'estimateur de la variance de la population varx. La variable réduite ainsi obtenue n'est plus une variable z observée mais une variable t observée.

Où mx est la moyenne de l'échantillon; Mx est la moyenne de la population de référence; varx est l'estimateur de la variance de la population (autrement dit la SCE/(n-1) qui est une valeur propre à l'échantillon); n est la taille de l'échantillon.

Ensuite, il reste à trouver dans les tables de t de Student (l'aspect de la courbe est aussi une courbe de Gauss), la ou les valeurs seuil en tenant compte de alpha et de H1. La valeur de t de Student nécessite aussi la détermination d'un certain nombre de degrés de liberté. Pour trouver la ou les valeurs seuil, il faut donc rechercher:

t_seuil;(n-1) degrés de liberté

Où "seuil" dépend de H1(α) ou H1 et H2 (α/2) et de la confiance 1-α choisie; n est la taille de l'échantillon

AH0 (et donc RH1)	L'échantillon de moyenne mx appartiendrait à la population de référence dont la moyenne est M1 jusqu'à preuve du contraire.
RH0 (et donc AH1)	L'échantillon de moyenne mx n'appartient pas à la population de référence dont la moyenne est M1 mais à une population dont la moyenne M2 est plus grande OU plus petite que celle de la population de référence, dont la moyenne est M1.