Les tests d'hypothèses vont permettre aux statisticiens de comparer des échantillons entre eux ou encore de comparer un échantillon avec une population de référence...

Types de tests d'hypothèses:

Dans le cadre de ces travaux pratiques, nous envisagerons trois types de tests d'hypothèses.

1. test de comparaison d'une moyenne d'un échantillon par rapport à une population
2. test de comparaison de 2 échantillons tirés de 2 populations indépendantes
3. test de comparaison de 2 échantillons tirés de 2 populations pairées

Les tests 2 et 3 sont des cas particuliers qui peuvent être plus simplement traités par l'ANOVA.

Les hypothèses:

Quel que soit le type de tests (voir ci-dessus), il faut toujours prendre pour hypothèse de référence que les moyennes comparées proviennent d'une seule population de moyenne Mx. Il s'agit de l'hypothèse de départ appelée "hypothèse nulle" (H0) qui pourra s'écrire comme suit dans le cas d'une comparaison de deux moyennes:

H0: M1 = M2 = Mx

L'expérimentateur doit ensuite démontrer que les moyennes comparées ne proviennent pas de la même population, mais qu'une des populations possède une moyenne plus grande, plus petite ou tout simplement différente par rapport à l'autre population. Il s'agit de l'"hypothèse alternative" (H1) qui pourra s'écrire comme suit:

H1: M1 > M2 .

ou

H1: M1 < M2 .

ou encore

H1: M1 ≠ M2 .

 

Réalisation du test:

Réduction des moyennes observées:
La (les) moyenne(s) mx obtenue(s) pour (les) l'échantillon(s) peu(ven)t être réduite(s) en une valeur observée (z observée ou t observée). Celle-ci peut ensuite être comparée à une valeur seuil (z table ou t table).

En général, et pour la suite de l'exemple, on appellera M1 la moyenne de la population dont on pense que les individus proviennent, et M2 celle dont ils proviennent réellement.

Recherche d'une limite arbitraire, une valeur seuil:

La valeur seuil va déterminer sous la courbe de Gauss réduite des zones distinctes: une zone probable suivant H0 et une zone improbable suivant H0, vous devrez choisir dans les tables de Z ou de t de student une valeur seuil. En fonction du nombre d'hypothèses attendues (1 ou 2) et de la confiance 1-alpha (95%, 99%, ...).

Comparer la valeur réduite observée à la valeur seuil trouvée dans les tables:

Si l'hypothèse alternative H1 est "M2 plus grand que M1"

Lorsque la valeur observée (Z observée ou t observée) est plus grande que la valeur théorique (Z(1-alpha) ou t(1-alpha)), alors H1 est respectée (AH1)et H0 rejetée (RH0). Dans le cas d'un rejet de H0 (RH0), l'expérimentateur aura réussi à démontrer que les moyennes observées sont telles que M2 est vraisemblablement plus grande que M1. Comme la valeur de alpha choisie par l'expérimentateur est faible (maximum 5%), un RH0 signifie que la distance qui sépare les moyennes comparées est trop élevée pour être simplement due au hasard. Le risque de se tromper lorsque RH0 est donc très faible. Un RH0 permet à l'expérimentateur d'être quasiment certain que M2 est bien plus grand que M1 avec un risque de se tromper équivalent à alpha. Dans le cas d'une acceptation de H0 (AH0), rien ne permet à l'expérimentateur de dire que les moyennes sont différentes. Cette AH0 doit être considérée par l'expérimentateur comme une expérience non interprétable. A la différence de la "quasi certitude" au sujet de la conclusion tirée quand RH0, dans le cas d'une AH0, rien ne permet à l'expérimentateur d'être certain que les moyennes comparées sont effectivement identiques.

 

Si l'hypothèse alternative H1 est "M2 plus petit que M1"

Lorsque la valeur observée (Z observée ou t observée) est plus petite que la valeur théorique (Z(alpha) ou t(alpha)), alors H1 est acceptée (AH1) et H0 rejetée (RH0). Dans le cas d'un rejet de H0 (RH0), l'expérimentateur a la "quasi certitude" que M2 est plus petit que M1 avec une probabilité de se tromper de alpha (maximum 5%). Dans le cas d'une acceptation de H0 (AH0), l'expérimentateur n'a pas réussi à démontrer que M2 est plus petite que M1. Le doute est toujours possible.

Si l'hypothèse alternative H1 est "M2 différent de M1"

Lorsque la valeur observée (Z observée ou t observée) est SOIT plus petite que la valeur théorique (Z(alpha/2) ou t(alpha/2)), SOIT plus grande que la valeur théorique (Z(1-alpha/2) ou t(1-alpha/2)), alors H1 est respectée (AH1)et H0 rejetée (RH0). Dans le cas d'un rejet de H0 (RH0), l'expérimentateur a la "quasi certitude" que M2 est différent de M1 avec une probabilité de se tromper de alpha (maximum 5%). Dans le cas d'une acceptation de H0 (AH0), l'expérimentateur n'a pas réussi à démontrer que M2 est différent de M1. Le doute est toujours possible.