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Module 90:
La loi du 
est une loi dérivée de la loi normale. Très importante
pour ses applications en statistiques, elle est utilisée pour
tester des statistiques basées sur le calcul de la somme des
carrés des écarts.
A partir de
3 degrés de liberté, les distributions
suivent une distribution en cloche caractérisée par une
dissymétrie à gauche. La forme de la courbe est déterminée
par le nombre de degrés de liberté. Le nombre de degrés
de liberté dépend du nombre de catégories dans
lesquelles les fréquences sont dénombrées. En effet,
plus le nombre de degrés de liberté augmente, plus
tend vers une v.a. Normale et donc adopte une courbe en cloche.
Types de tests
Dans le cadre de ce cours de statistiques élémentaires,
nous ne nous préoccuperons que de deux types de tests différents:
- le test d'indépendance
- le test de conformité d'un
échantillon à un standard
La v.a. Normale est un modèle qui permet de décrire la distribution de probabilité de nombreuses v.a. continues, ou de leur logarithme, par exemple la taille ou le poids des organismes, l'erreur de mesure, la concentration de nombreuses substances, comme le taux de fibrinogène ou de cholestérol sanguin. Ce modèle décrit aussi la distribution de la moyenne de tous les échantillons (parfois à partir d’une taille critique). La loi Normale est un des plus modèles de distribution les plus utilisés pour calculer des probabilités dans le domaine biomédical.
Imaginons un modèle qui répartisse
les observations en deux catégories, par exemple mâles et femelles,
dans une population de sex-ratio 0.5
P(mâle)=1/3, P(femelle)=2/3; ratio=0.5
Comptons la fréquence des mâles et des
femelles dans un échantillon (n=87) et la fréquence théorique
attendue suivant la répartition 1/3, 2/3.
Calculons un écart quadratique entre les fréquences
observées et théoriques, standardisé par la fréquence
théorique :
et rassemblons les valeurs dans un tableau :
|
|
mâles
|
femelles
|
total
|
|
fi observée
|
23
|
64
|
87
|
|
fi théorique
|
29
|
58
|
87
|
|
écart quadratique standardisé
|
1.24
|
0.62
|
1.86
|
Fréquences observées et
théoriques, écart quadratique, standardisé par la
fréquence théorique, totaux.
Les fréquences observées fobsi correspondent
approximativement à la valeur de X=Po(m),
expression dans laquelle m=n.
avec n la taille de l’échantillon et la probabilité
d’appartenir à la catégorie i.
La variance de cette fréquence observée
est donc Var(X)= m=n.
La quantité 
est donc approximativement une variable Z(0 ;1).
L’écart global entre les observations et le
modèle est calculé par la statistique :
qui suit approximativement une distribution théorique
expression dans laquelle k représente le nombre
de catégories et k-1 le nombre de degrés de liberté,
dont dépend la forme de la courbe
Si l’on répète l’observation
un grand nombre de fois, on obtiendra différentes fréquences,
et différentes valeurs de obs
|
Echantillon N°
|
mâles
|
femelles
|
obs
|
|
2
|
29
|
62
|
0.0879
|
|
3
|
25
|
60
|
0.5882
|
|
4
|
25
|
73
|
2.6990
|
|
5
|
32
|
63
|
0.0053
|
|
6
|
37
|
66
|
0.3107
|
|
7
|
32
|
74
|
0.4717
|
Tableau -6 Répétition
de l’expérience, fréquences observées et valeurs
de obs
Comparons les valeurs obtenues pour obs avec
k=2 :
Figure -18 Comparaison des écarts quadratiques
standardisés à la distribution théorique
de khi-carré avec un degré de liberté.
Imaginons un modèle qui répartisse
les observations en trois catégories, par exemple les produits
AA, Aa et aa de plusieurs croisements hétérozygotes, de
probabilité 25%, 50% et 25% respectivement. Effectuons 5 fois l’expérience
qui consiste à relever la fréquence de chaque phénotype :
|
N°
|
AA
|
Aa
|
aa
|
obs
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
27
|
49
|
20
|
1.06
|
|
2
|
17
|
53
|
31
|
4.13
|
|
3
|
27
|
46
|
22
|
0.62
|
|
4
|
22
|
46
|
27
|
0.62
|
|
5
|
28
|
53
|
17
|
3.12
|
Comment sont calculées ces valeurs ?
Ligne 1: 27+49+20=96 données, ce qui donne des fréquences théoriques de 24, 48, et 24 (25%, 50%, 25% de 96).
Le Chi²observé est donc = (27-24)2/24 + (49-48)2/48 + (20-24)2/24 = 1.0625, c'est à dire 1.06 si on arrondit à deux chiffres significatifs.
Répétition de l’expérience,
fréquences observées et valeurs de Chi²observé
Considérons la probabilité
a priori de 10 acides aminés de se trouver dans une hélice
alpha et dénombrons leur fréquence dans 4 protéines.
|
Acide aminé
|
Probabilité
|
Protéines
|
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
Ile
|
0.03
|
4
|
3
|
3
|
3
|
|
Asn
|
0.05
|
8
|
5
|
8
|
4
|
|
Val
|
0.07
|
12
|
7
|
8
|
4
|
|
Thr
|
0.07
|
5
|
8
|
7
|
9
|
|
Tyr
|
0.07
|
9
|
7
|
10
|
5
|
|
Leu
|
0.13
|
8
|
15
|
15
|
12
|
|
Pro
|
0.13
|
14
|
13
|
12
|
13
|
|
Glu
|
0.15
|
9
|
18
|
16
|
17
|
|
Gly
|
0.15
|
17
|
12
|
16
|
10
|
|
Met
|
0.15
|
12
|
16
|
18
|
20
|
|
total
|
1
|
98
|
104
|
113
|
97
|
|
2
obs
|
|
12.32
|
1.49
|
2.35
|
6.40
|
Probabilités, fréquences
observées et Chi² observé pour 10 acides aminés répertoriés
dans les hélices alpha de 4 protéines.
Si l’on répète
l’expérience sur un plus grand nombre de protéines,
on observe une distribution de Chi²observé
qui peut se comparer à une distribution théorique de Chi² avec 9 degrés de liberté.
Comparaison des écarts quadratiques standardisés à la distribution théorique de khi-carré avec 9 degrés de liberté :
La distribution de
est utilisée pour tester des statistiques basées
sur le calcul de la somme des carrés des écarts
Les degrés de liberté déterminent
la forme de la courbe et dépendent du nombre de catégories
dans lesquelles les fréquences sont dénombrées.
Plus le nombre de degrés de
liberté augmente, plus
tend vers une v.a. Normale.
Figure -21 Comparaison de fonctions avec
différents nombres de degrés de liberté. La distribution
de avec
un petit nombre de degrés de liberté est fortement asymétrique.
La table de
est généralement présentée de la façon
suivante :
|
|
0.9 |
0.95
|
0.975
|
0.99
|
|
1
|
2.71
|
3.84
|
5.02
|
6.63
|
|
2
|
4.61
|
5.99
|
7.38
|
9.21
|
|
3
|
6.25
|
7.81
|
9.35
|
11.34
|
|
4
|
7.78
|
9.50
|
11.14
|
13.28
|
Tableau -9 Extrait de la table de
La première ligne énumère des probabilités,
la première colonne, des degrés de liberté. Chaque
ligne comprend P(
² p)
, p étant la probabilité reprise en tête de colonne.
Figure -22 Illustration de la probabilité
reprise dans la table, 4 d.l. p= 0.95.
Dans le tableur Excel,
la fonction LOI.KHIDEUX(x;dl) renvoie P(c2dl
Á x). Dans notre
exemple,
1-LOI.KHIDEUX(9.5 ;4) renvoie
0.95.
Prenez garde, les conventions d’Excel
varient d’une fonction de probabilité à l’autre.
Erreur !