Module 190:

Si on étudie le taux de cholestérol dans le sang , le but est d'analyser les fluctuations de ce taux (notre mesure, notre variable) en fonction:

1. du "régime alimentaire" (1 critère de classification)
2. du "régime alimentaire" tout en gardant les mêmes "individus" d'un régime à l'autre (2 critères de classification)
3. du "régime alimentaire", du "nombre de jours de traitement" avec un régime alimentaire, tout en gardant les mêmes "individus" d'un régime à l'autre (3 critères de classification).

L'expérimentateur constitue plusieurs échantillons contenant des individus pris au hasard dans une population déterminée. L'objectif de l'expérience est de mettre en évidence des différences de taux de cholestérol en fonction du "régime alimentaire". Le critère de classification étudié est unique: il s'agit de "régime alimentaire".

L'expérimentateur constitue plusieurs échantillons à partir des 5 mêmes individus d'une population déterminée. Chaque individu passe successivement par 3 régimes alimentaires. Pour chaque régime, une mesure de taux de cholestérol est réalisée.

L'objectif de l'expérience est de mettre en évidence des différences de taux de cholestérol en fonction du "régime alimentaire". Dans ce cas, il y a deux critères de classification: le critère "régime alimentaire" et le critère "individu" puisque les mesures sont effectuées sur les mêmes individus (1, 2, 3, 4 et 5) pour tous les échantillons.

L'expérimentateur constitue plusieurs échantillons à partir des 5 mêmes individus d'une population déterminée. Chaque individu suit un régime déterminé pendant trois jours avant de passer au régime suivant et ainsi de suite.

L'objectif de l'expérience est de mettre en évidence des différences de taux de cholestérol en fonction du "régime alimentaire" et de la "durée du régime déterminé". Dans ce cas, il y a trois critères de classification: le critère "régime alimentaire", le critère "individu" et le critère "jour".

1. critère fixe
2. critère aléatoire

L'expérience présentée ci-dessus consiste à étudier le taux de cholestérol en fonction d'un régime clairement identifié (régime à base de viande; à base d'aliments à haute teneur en graisses animales; à base de légumes). Le critère "régime" est fixé (connu): le critère est dit "FIXE".

L'expérience présentée ci-dessus consiste à étudier le taux de cholestérol en fonction d'un régime (1, 2 ou 3) non précisé . Le critère "régime" n'est pas fixé (inconnu): il est "ALEATOIRE".

1. critères croisés
2. critères hiérarchisés

L'expérience présentée ci-dessus consiste à étudier le taux de cholestérol de façon à réaliser 3 prélèvements par jour sur les mêmes individus pendant trois jours. Les individus sont croisés aux jours.

L'expérience présentée ci-dessus consiste à étudier le taux de cholestérol de façon à réaliser 3 prélèvements par jour sur des individus différents de jour en jour. Les individus sont hiérarchisés aux jours.

Afin de compléter l'étude des ANOVA multiples, il est possible d'établir le modèle représentant l'ANOVA moyennant le respect de certaines conventions de notation pour l'écriture du modèle.

Soit X la mesure expérimentale ou observation, µ la moyenne générale de toutes les populations étudiées et E l'erreur résiduelle ou non contrôlée.

Sources de variation:

1. Effets globaux

• Il y a autant d'effets globaux qu'il y a de critères de classification dans un modèle.
• Chaque critère est identifié par une lettre, en commençant par la lettre A.
• L'effet correspondant à un critère est identifié par la même lettre, minuscule si le critère est fixe (a), majuscule si le critère est aléatoire (A).
• L'effet de chacun des n niveaux d'un critère est indicé par une lettre, en commençant par la lettre i (l'indice de l'effet du critère A est i, du critère B est j, etc.): A_i ou a_i
• Le nombre de niveaux de chaque critère est représenté par la lettre n indicée par la lettre qui désigne le critère (i = 1, ..., n_a; j = 1, ..., n_b; etc.)
• Le niveau d'un critère hiérarchisé à un ou plusieurs autres critères est représenté par la lettre du critère hiérarchisé, indicée par la lettre correspondant à ce critère, mais précédée par la ou les lettres du ou des critères auxquels il est hiérarchisé, placées entre parenthèses (si a est fixe, B est aléatoire et B est hiérarchisé à a, alors les effets s'écrivent comme suit: a_i et B_(i)j).
• Pour l'erreur résiduelle E, l'indice varie de 1 jusque n, et l'effet correspondant est toujours hiérarchisé à tous les autres critères de classification: E_(ij)n

• L'interaction ne peut exister qu'entre deux critères croisés
• Il y a autant d'effets d'interaction qu'il y a de combinaisons de 2, 3, 4, ... critères croisés
• L'interaction est aléatoire si au moins un des critères intervenant est aléatoire
• Les indices d'une interaction sont ceux des critères inclus dans celle-ci.

Soit une ANOVA à trois critères de classification:

• un critère fixe (effet a_i, avec i = 1, ..., n_a)
• un critère aléatoire, hiérarchisé au premier (effet B_(i)j, avec j = 1, ..., n_b)
• un second critère fixe (effet c_k, avec k = 1, ..., n_c)

Les interactions sont alors:

• ac_ik (fixe)
• Bc_(i)jk (aléatoire)

Le modèle s'écrit donc:

x_(ijk)l = µ + a_i + B_(i)j + c_k + ac_ik + Bc_(i)jk + E_(ijk)l

Question: Etablir un schéma des expériences suivantes. Quels sont les critères de classification, combien y a-t-il de niveaux pour chacun des critères? Sont-ils fixes ou aléatoires? Quelles sont les relations entre eux ? Combien y a-t-il de répétitions indépendantes ? Etablir le modèle et l'équation de l'analyse de la variance.

Exemple 1:

Un test hématologique a été effectué sur 5 adultes normaux et 5 adultes atteints d'une maladie sanguine. A chaque individu, on injecte une quantité fixe d'un produit radioactif et on prélève, à différents temps (1, 3, 5 et 10 minutes), un échantillon de sang dont on mesure la radioactivité en cpm (coups par minute).

Effets:
Santé: a_i, fixe, croisé avec Temps.
Individu: B_(i)j, aléatoire, hiérarchisé à Santé, et croisé avec Temps.
Temps: c_k , fixe, croisé avec Santé et Individu.

Interactions:
Entre Santé et Temps: ac_ik
Entre Individu et Temps: Bc_(i)jk

Modèle à trois critères de classification, sans répétitions [l=1]

x_(ijk)l = µ + a_i + B_(i)j + c_k + ac_ik + Bc_(i)jk

SCET = SCEa +SCEB(a) +SCEc + SCEac + SCEBc

Exemple 2:

Une tumeur est prélevée chez 4 souris. De chaque tumeur, on prélève 2 fragments quelconques sur lesquels on dénombre au microscope des cellules particulières. A la suite d'un traitement A, ces comptages ont été effectués à 3 temps successifs (1, 2 et 3 jours après l'administration du traitement) à partir des 4 mêmes souris.

Effets:
Souris: A_i, aléatoire, croisé avec Jours.
Jour: b_j, fixe, croisé avec Souris.

Interactions:
Entre Souris et Jour: Ab_ij

Modèle à deux critères de classification, avec 2 répétitions [k=2]

x_(ij)k = µ + A_i + b_j + Ab_ij + E_(ij)k

SCET = SCEA +SCEb +SCEAb + SCER

Problèmes (9 groupes, deux problèmes)

1.1. Dans une étude portant sur la reproduction du goujon, l'impact de trois milieux piscicoles a été examiné : l'étang naturel, un bassin à température constante, un bassin à température et à éclairement constants. Dans chaque milieu, on a mesuré le poids des ovaires de 20 goujons adultes.

2.1. Un test hématologique a été effectué sur 5 adultes normaux et 5 adultes atteints d'une maladie sanguine. A chaque individu, on injecte une quantité fixe d'un produit radioactif et on prélève, à différents temps, un échantillon de sang dont on mesure la radioactivité en cpm.

3.1 Une tumeur est prélevée chez 4 souris. De chaque tumeur, on prélève 2 fragments quelconques sur lesquels on dénombre au microscope des cellules particulières. A la suite d'un traitement A, ces comptages ont été effectués à 3 temps successifs (jour 1, jour 2 et jour 3) à partir des 4 mêmes souris.

4.1 Trois laboratoires désirent comparer leurs résultats d'analyse de calcium dans différentes terres. Quatre prélèvements de terre ont été effectués au hasard dans trois régions, Ardenne, Condroz et Hesbaye. Chaque laboratoire a reçu 1/3 de chaque prélèvement sur lequel il a déterminé la teneur en calcium selon les 2 méthodes (M1 et M2) officiellement reconnues.

5.1 Un ornithologue s'intéresse à l'évolution d'une espèce d'oiseaux répartie dans trois sites géographiquement distincts A, B et C, et plus particulièrement aux différences morphologiques engendrées par les mécanismes d'isolement. A cet effet, il a mesuré la longueur des ailes (en mm) de 10 oiseaux capturés sur chaque site.

6.1 Une industrie pharmaceutique désire tester trois stimulants de l'appétit (S1, S2, S3) en mesurant la capacité d'absorption de nourriture chez le rat. Quatre groupes de 12 rats sont constitués: le premier servant de témoin, les trois autres recevant respectivement les stimulants S1, S2 et S3. On mesure la quantité de nourriture (en kgs) ingérée sur un mois.

7.1 Pour fixer les quotas laitiers, on souhaite réaliser une estimation de la production laitière annuelle d'un cheptel. L'expérimentateur décide de prospecter trois régions au hasard. Dans chaque région, il recueille les statistiques de production de dix vaches prises au hasard, en été et en hiver pour chaque animal.

8.1 Un hydrobiologiste s'intéresse à la teneur en phosphates de deux lacs. A deux saisons différentes, il effectue 5 mesures indépendantes de la concentration en phosphates (microgrammes par litre)

9.1 Un biochimiste étudie l'influence de l'éthanol sur la teneur en graisse dans le foie chez le rat. Il constitue deux groupes de 5 rats: le premier reçoit une ration alimentaire normale et le second reçoit une ration alimentaire à laquelle il ajoute quotidiennement une quantité fixe d'alcool. Après quinze jours, il prélève le foie aux rats, l'homogénéise et y mesure la teneur en graisse sur 3 échantillons d'un gramme.

1.2 Un biochimiste désire comparer deux méthodes de dosage d'une enzyme hépatique. Il prélève le foie à 6 rats et sur chaque foie, après homogénéisation, il prend 4 échantillons dont deux sont analysés par la méthode I et les deux autres par la méthode II.

2.2 Dans un département où coexistent trois variétés d'une même plante, un laboratoire de botanique a étudié si la concentration en chlorophylle des feuilles dépendait de la variété et de l'avancement de la saison. Par variété et par mois, on a mesuré la concentration en chlorophylle sur quatre plantes.

3.2. Un expérimentateur désire tester deux drogues quant à leur effet sur le nombre de lymphocytes chez la souris. Il choisit au sein de 7 portées (une portée = des souris issues de même père et mère), 3 souris, la première servant de contrôle, les deux autres recevant respectivement les drogues A et B. Après quelque temps, il mesure le nombre de lymphocytes en milliers par mm3 de sang.

4.2. Un laboratoire d'analyse de terres désire comparer trois types de sondes pédologiques (S1, S2 et S3) dans les deux types de sols de la région. A cette fin, il prélève 4 échantillons par type de sol et par sonde et mesure le P2O5 dans chaque échantillon de terre.

5.2. Afin de déterminer les facteurs agissant sur la production d'interféron par les lymphocytes, on a planifié l'expérience suivante: quatre taureaux géniteurs de race Pie Rouge sont croisés chacun avec 5 vaches. Sur le veau issu de chaque croisement, on effectue un prélèvement de sang dont on isole les lymphocytes. La moitié des lymphocytes obtenus est stimulée par la lectine CON A et l'autre moitié par la lectine PHA. Après un certain temps, on mesure la quantité d'interféron produite.

6.2. Dans l'étude écologique d'une rivière, 5 stations ont été choisies aléatoirement en amont d'une ville, et 5 stations ont été choisies aléatoirement en aval. Dans chaque station au mois de juillet et au mois d'octobre, on effectue 5 prélèvements d'eau dont on mesure le pH.

7.2. Dans les serres modernes, il est possible d'obtenir un air climatisé dont la température et l'humidité sont contrôlées de façon précise. Dans le but d'étudier l'effet de la vitesse de l'air pulsé sur la croissance de deux espèces florales, l'expérience suivante a été réalisée:trois serres identiques ont été réglées à des vitesses d'air pulsé différentes: V1, V2 et V3. Craignant un effet "paroi", on a mesuré la croissance des plantes à deux endroits différents: au centre et sur le bord sud. A chaque endroit, on mesure après 4 jours, la vitesse de croissance de 10 plantes de chaque espèce.

8.2. Afin de déterminer les facteurs agissant sur la production d'interféron par les lymphocytes, l'expérience suivante a été réalisée: 4 taureaux géniteurs sont choisis respectivement pour la race Pie Rouge et pour la race Bleu Blanc Belge. Chaque taureau est croisé à 5 vaches. Sur le veau issu de chaque croisement, on prélève 3 échantillons de sang dont on mesure la quantité d'interféron produite par les lymphocytes.

9.2. Un vétérinaire désire tester l'action de deux vermifuges sur la croissance pondérale de bovins. Dans un cheptel infesté, il constitue 3 groupes de 15 taurillons: le premier sert de groupe témoin, le deuxième reçoit le vermifuge 1 et le troisième le vermifuge 2. Chaque mois (de novembre à février), chaque animal passe à la pesée et l'on mesure son accroissement en poids en kilos.

Bonus. Un vétérinaire désire tester l'action de deux vermifuges sur la croissance pondérale de bovins. Dans un cheptel infesté, il constitue 4 groupes de 15 taurillons: le premier reçoit le vermifuge 1 à la dose de 200 mgr/kg/jour, le deuxième reçoit le vermifuge 1 à la dose de 400 mgr/kg/jour, le troisième reçoit le vermifuge 2 à la dose de 200 mgr/kg/jour et le quatrième reçoit le vermifuge 2 à la dose de 400 mgr/kg/jour. Chaque mois (de novembre à février), chaque animal passe à la pesée et l'on mesure son accroissement en poids en kilos.

2.
Un test hématologique a été effectué sur 5 adultes normaux et 5 adultes atteints d'une maladie sanguine. A chaque individu, on injecte une quantité fixe d'un produit radioactif et on prélève, à différents temps (1, 3 et 5 minutes), un échantillon de sang dont on mesure la radioactivité en cpm (coups par minute). réponse

3.
Une tumeur est prélevée chez 4 souris. De chaque tumeur, on prélève 2 fragments quelconques sur lesquels on dénombre au microscope des cellules particulières. A la suite d'un traitement A, ces comptages ont été effectués à 3 temps successifs (1, 2 et 3 jours après l'administration du traitement) sur chaque fragment. réponse

4.
Trois laboratoires désirent comparer leurs résultats d'analyse de calcium dans différentes terres. Quatre prélèvements de terre ont été effectués au hasard dans trois régions, Ardenne, Condroz et Hesbaye. Chaque laboratoire a reçu 1/3 de chaque prélèvement sur lequel il a déterminé la teneur en calcium selon les 2 méthodes (M1 et M2) officiellement reconnues. réponse

5.
Un ornithologue s'intéresse à l'évolution d'une espèce d'oiseaux répartie dans trois sites géographiquement distincts (l'observatoire des fagnes, le zwin, et les lacs de l'Eau d'Heure), et plus particulièrement aux différences morphologiques engendrées par les mécanismes d'isolement. A cet effet, il a mesuré la longueur des ailes (en mm) de 10 oiseaux capturés sur chaque site. réponse

6.
Une industrie pharmaceutique désire tester trois stimulants de l'appétit (S1, S2, S3) en mesurant la capacité d'absorption de nourriture chez le rat. Quatre groupes de 12 rats sont constitués: le premier servant de témoin, les trois autres recevant respectivement les stimulants S1, S2 et S3. On mesure la quantité de nourriture (en kg) ingérée sur un mois. réponse

7.
Pour fixer les quotas laitiers, on souhaite réaliser une estimation de la production laitière annuelle d'un cheptel. L'expérimentateur décide de prospecter trois régions au hasard. Dans chaque région, il recueille les statistiques de production de dix vaches prises au hasard, en été et en hiver pour chaque animal. réponse

8.
Un hydrobiologiste s'intéresse à la teneur en phosphates de deux lacs (Lac de Buchenwald, Lac principal des barrages de l'Eau d'Heure). A deux saisons différentes (été, hiver), il effectue 5 mesures indépendantes de la concentration en phosphates (microgrammes par litre). réponse

9.
Un biochimiste étudie l'influence de l'éthanol sur la teneur en graisse dans le foie chez le rat. Il constitue deux groupes de 5 rats: le premier reçoit une ration alimentaire normale et le second reçoit une ration alimentaire à laquelle il ajoute quotidiennement une quantité fixe d'alcool. Après quinze jours, il prélève le foie aux rats, l'homogénéise et y mesure la teneur en graisse sur 3 échantillons d'un gramme. réponse

10.
Un biochimiste désire comparer deux méthodes de dosage d'une enzyme hépatique. Il prélève le foie à 6 rats et sur chaque foie, après homogénéisation, il prend 4 échantillons dont deux sont analysés par la méthode I et les deux autres par la méthode II. réponse

11.
Dans une des serres du département de botanique, plusieurs variétés de bananier coexistent. Pour étudier si la concentration en chlorophylle des feuilles de bananier dépendait de la variété et de l'avancement de la saison, un étudiant, sur la période allant de mars à juin, a choisi 3 variétés au hasard, et pour chacune d'entre elles, a mesuré chaque mois la concentration en chlorophylle sur quatre plantes.
Rédigez le modèle dans le cas où les plantes sont différentes chaque mois, puis dans celui ou elles sont chaque fois identiques. réponse

12.
Un chercheur désire tester deux nouvelles molécules (XB512, XZ321) potentiellement immuno-stimulantes quant à leur effet sur le nombre de lymphocytes chez la souris. Il choisit au sein de 7 portées (une portée = des souris issues de même père et de même mère), 3 souris, la première servant de contrôle, les deux autres recevant respectivement les deux molécules à tester. Après quelque temps, il mesure le nombre de lymphocytes en milliers par mm³ de sang. réponse

13.
Un laboratoire d'analyse de terres désire comparer trois types de sondes pédologiques (S1, S2 et S3) dans les deux types de sols de la région (sableuse, argileuse). A cette fin, il prélève 4 échantillons par type de sol et par sonde et mesure le P₂O₅ dans chaque échantillon de terre. réponse

14.
Afin de déterminer les facteurs agissant sur la production d'interféron β par les lymphocytes bovins, on a planifié l'expérience suivante: quatre taureaux géniteurs de race Pie Rouge sont croisés chacun avec 5 vaches. Sur le veau issu de chaque croisement, on effectue un prélèvement de sang dont on isole les lymphocytes. La moitié des lymphocytes obtenus est stimulée par la lectine CON A et l'autre moitié par la lectine PHA. Après un certain temps, on mesure la quantité d'interféron β produite. réponse

15.
Dans l'étude écologique d'une rivière, 5 stations ont été choisies aléatoirement en amont d'une ville, et 5 stations ont été choisies aléatoirement en aval. Dans chaque station au mois de juillet et au mois d'octobre, on effectue 5 prélèvements d'eau dont on mesure le pH. réponse

16.
Dans les serres modernes, il est possible d'obtenir un air climatisé dont la température et l'humidité sont contrôlées de façon précise. Dans le but d'étudier l'effet de la vitesse de l'air pulsé sur la croissance de deux espèces florales (Strelitzia reginae et Beloperone guttata), l'expérience suivante a été réalisée:trois serres identiques ont été réglées à des vitesses d'air pulsé différentes: V1, V2 et V3. Craignant un effet "paroi", on a mesuré la croissance des plantes à deux endroits différents: au centre et sur le bord sud. A chaque endroit, on mesure après 4 jours, la vitesse de croissance de 10 plantes de chaque espèce. réponse

17.
Afin de déterminer les facteurs agissant sur la production d'interféron β par les lymphocytes, l'expérience suivante a été réalisée: 4 taureaux géniteurs de race Pie Rouge et 4 taureaux de race Blanc Bleu Belge ont été sélectionnés. Chaque taureau est croisé avec 5 vaches. Sur le veau issu de chaque croisement, on prélève 3 échantillons de sang dont on mesure la quantité d'interféron β produite par les lymphocytes. réponse

18.
Un vétérinaire désire tester l'action de deux vermifuges sur la croissance pondérale de bovins. Dans un cheptel infesté, il constitue 3 groupes de 15 taurillons: le premier sert de groupe témoin, le deuxième reçoit le vermifuge 1 et le troisième le vermifuge 2. Chaque mois (de novembre à février), chaque animal passe à la pesée et l'on mesure son accroissement en poids en kilos. réponse

19.
Un vétérinaire désire tester l'action de deux vermifuges sur la croissance pondérale de bovins. Dans un cheptel infesté, il constitue 4 groupes de 15 taurillons: le premier reçoit le vermifuge 1 à la dose de 200 mgr/kg/jour, le deuxième reçoit le vermifuge 1 à la dose de 400 mgr/kg/jour, le troisième reçoit le vermifuge 2 à la dose de 200 mgr/kg/jour et le quatrième reçoit le vermifuge 2 à la dose de 400 mgr/kg/jour. Chaque mois (de novembre à février), chaque animal passe à la pesée et l'on mesure son accroissement en poids en kilos. réponse

UP

1. Dans une étude portant sur la reproduction du goujon, l'impact de trois milieux piscicoles a été examiné : l'étang naturel, un bassin à température constante, un bassin à température et à éclairement constants. Dans chaque milieu, on a mesuré le poids des ovaires de 20 goujons adultes.

Anova 1:
Effet "milieu piscicole": fixe, 3 niveaux: a_i
Effet résiduel: aléatoire, 20 niveaux: E_(i)j

x_(i)j= µ + a_i + E_(i)j

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2. Un test hématologique a été effectué sur 5 adultes normaux et 5 adultes atteints d'une maladie sanguine. A chaque individu, on injecte une quantité fixe d'un produit radioactif et on prélève, à différents temps (1, 3 et 5 minutes), un échantillon de sang dont on mesure la radioactivité en cpm (coups par minute).

Anova 3:
Effet "maladie" : fixe, 2 niveaux : a_i
Effet "individus": aléatoire, hiérarchisé à "maladie", 5 niveaux par niveau de "maladie" :B_(i)j
Effet "temps": fixe, 3 niveaux : c_k
Interaction entre "maladie" et "temps" : ac_ik
Interaction entre "individus" et "temps" : Bc_(i)jk
Pas d'effet résiduel car 1 seule mesure par catégorie (l=1).

x_(ijk)l = µ + a_i + B_(i)j + c_k + ac_ik + Bc_(i)jk

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3. Une tumeur est prélevée chez 4 souris. De chaque tumeur, on prélève 2 fragments quelconques sur lesquels on dénombre au microscope des cellules particulières. A la suite d'un traitement A, ces comptages ont été effectués à 3 temps successifs (1, 2 et 3 jours après l'administration du traitement) sur chaque fragment.

Si on considère que les fragments ne sont pas homogènes :

Anova 3:
Effet "souris" : aléatoire, 4 niveaux : A_i
Effet "fragment": aléatoire, hiérarchisé à "souris", 2 niveaux par niveau de "souris" : B_(i)j
Effet "temps": fixe, 3 niveaux : c_k
Interaction entre "souris" et "temps" : Ac_ik
Interaction entre "fragment" et "temps" : Bc_(i)jk
Pas d'effet résiduel car 1 seule mesure par catégorie (l=1).

x_(ijk)l = µ + A_i + B_(i)j + c_k + Ac_ik + Bc_(i)jk

Si on considère que les fragments sont homogènes :

Anova 2:
Effet "souris" : aléatoire, 4 niveaux : A_i
Effet "temps": fixe, 3 niveaux : b _j
Interaction entre "souris" et "temps" : Ab_ij
Effet résiduel car 2 mesures par catégorie (k=2): E_(ij)k

x_(ij)k = µ + A_i + b_j + Ab_ij + E_(ij)k

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4. Trois laboratoires désirent comparer leurs résultats d'analyse de calcium dans différentes terres. Quatre prélèvements de terre ont été effectués au hasard dans trois régions, Ardenne, Condroz et Hesbaye. Chaque laboratoire a reçu 1/3 de chaque prélèvement sur lequel il a déterminé la teneur en calcium selon les 2 méthodes officiellement reconnues.

Anova 4:
Effet "région" : fixe, 3 niveaux : a_i
Effet "échantillon": aléatoire, hiérarchisé à "région", 4 niveaux par niveau de "région" : B_(i)j
Effet "labo": fixe, 3 niveaux : c_k
Effet "méthode": fixe, 2 niveaux : d_l
Interaction entre "région" et "labo" : ac_ik
Interaction entre "région" et "méthode": ad_il
Interaction entre "échantillon" et "labo" : Bc_(i)jk
Interaction entre "échantillon" et "méthode": Bd_(i)jl
Interaction entre "labo" et "méthode": cd_kl
Interaction entre "région", "labo", et "méthode": acd_ikl
Interaction entre "échantillon", "labo", et "méthode": Bcd_(i)jkl
Pas d'effet résiduel car 1 seule mesure par catégorie (n=1).

x_(ijkl)n = µ + a_i + B_(i)j + c_k + d_l + ac_ik + ad_il + Bc_(i)jk + Bd_(i)jl + cd_kl + acd_ikl + Bcd_(i)jkl

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5. Un ornithologue s'intéresse à l'évolution d'une espèce d'oiseaux répartie dans trois sites géographiquement distincts (l'observatoire des fagnes, le zwin, et les lacs de l'Eau d'Heure), et plus particulièrement aux différences morphologiques engendrées par les mécanismes d'isolement. A cet effet, il a mesuré la longueur des ailes (en mm) de 10 oiseaux capturés sur chaque site.

Anova 1:
Effet "site géographique ": fixe, 3 niveaux: a_i
Effet résiduel: aléatoire, 10 niveaux: E_(i)j

x_(i)j = µ + a_i + E_(i)j

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6. Une industrie pharmaceutique désire tester trois stimulants de l'appétit (S1, S2, S3) en mesurant la capacité d'absorption de nourriture chez le rat. Quatre groupes de 12 rats sont constitués: le premier servant de témoin, les trois autres recevant respectivement les stimulants S1, S2 et S3. On mesure la quantité de nourriture (en kgs) ingérée sur un mois.

Anova 1:
Effet "stimulant": fixe, 4 niveaux: a_i
Effet résiduel: aléatoire, 12 niveaux: E_(i)j

x_(i)j = µ + a_i + E_(i)j

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7. Pour fixer les quotas laitiers, on souhaite réaliser une estimation de la production laitière annuelle d'un cheptel. L'expérimentateur décide de prospecter trois régions au hasard. Dans chaque région, il recueille les statistiques de production de dix vaches prises au hasard, en été et en hiver pour chaque animal.

Anova 3:
Effet "région" : aléatoire, 3 niveaux : A_i
Effet "vache": aléatoire, hiérarchisé à "région", 10 niveaux par niveau de "région" : B_(i)j
Effet "saison": fixe, 2 niveaux : c_k
Interaction entre "région" et "saison" : Ac_ik
Interaction entre "vache" et "saison" : Bc_(i)jk
Pas d'effet résiduel car 1 seule mesure par catégorie (l=1).

x_(ijk)l = µ + A_i + B_(i)j + c_k + Ac_ik + Bc_(i)jk

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8. Un hydrobiologiste s'intéresse à la teneur en phosphates de deux lacs (Lac de Buchenwald, Lac principal des barrages de l'Eau d'Heure). A deux saisons différentes (été, hiver), il effectue 5 mesures indépendantes de la concentration en phosphates (microgrammes par litre).

Anova 2:
Effet "lac": fixe, 2 niveaux: a_i
Effet "saison": fixe, 2 niveaux: b_j
Interaction entre "lac" et "saison": ab_ij
Effet résiduel: aléatoire, 5 niveaux: E_(ij)k

x_(ij)k = µ + a_i + b_j + ab_ij + E_(ij)k

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9. Un biochimiste étudie l'influence de l'éthanol sur la teneur en graisse dans le foie chez le rat. Il constitue deux groupes de 5 rats: le premier reçoit une ration alimentaire normale et le second reçoit une ration alimentaire à laquelle il ajoute quotidiennement une quantité fixe d'alcool. Après quinze jours, il prélève le foie aux rats, l'homogénéise et y mesure la teneur en graisse sur 3 échantillons d'un gramme.

Anova 2:
Effet "régime": fixe, 2 niveaux: a_i
Effet "rat": aléatoire, hiérarchisé à "régime", 5 niveaux: B_(i)j
Effet résiduel: aléatoire, 3 niveaux: E_(ij)k

x_(ij)k= µ + a_i + B_(i)j + E_(ij)k

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10. Un biochimiste désire comparer deux méthodes de dosage d'une enzyme hépatique. Il prélève le foie à 6 rats et sur chaque foie, après homogénéisation, il prend 4 échantillons dont deux sont analysés par la méthode I et les deux autres par la méthode II.

Anova 2:
Effet "rat": aléatoire, 6 niveaux: A_i
Effet "méthode": fixe, 2 niveaux: b_j
Interaction entre "rat" et "méthode": Ab_ij
Effet résiduel: aléatoire, 2 niveaux: E_(ij)k

x_(ij)k= µ + A_i + b_j + Ab_ij + E_(ij)k

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11. Dans une des serres du département de botanique, plusieurs variétés de bananier coexistent. Pour étudier si la concentration en chlorophylle des feuilles de bananier dépendait de la variété et de l'avancement de la saison, un étudiant, sur la période allant de mars à juin, a choisi 3 variétés au hasard, et pour chacune d'entre elles, a mesuré chaque mois la concentration en chlorophylle sur quatre plantes.
Si les plantes sont différentes chaque mois:

Anova 2:
Effet "variété": aléatoire, 3 niveaux: A_i
Effet "mois": fixe, 4 niveaux: b_j
Interaction entre "variété" et "mois": Ab_ij
Effet résiduel: aléatoire, 4 niveaux: E_(ij)k

x_(ij)k = µ + A_i + b_j + Ab_ij + E_(ij)k

Si les plantes sont identiques chaque mois:

Anova 3:
Effet "variété": aléatoire, 3 niveaux: A_i
Effet "plante": aléatoire, hiérarchisé à "variété", 4 niveaux: B_(i)j
Effet "mois": fixe, 4 niveaux : c_k
Interaction entre "variété" et "mois" : Ac_ik
Interaction entre "plante" et "mois" : Bc_(i)jk
Pas d'effet résiduel car 1 seule mesure par catégorie (l=1).

x_(ijk)l = µ + A_i + B_(i)j + c_k + Ac_ik + Bc_(i)jk

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12. Un chercheur désire tester deux nouvelles molécules (XB512, XZ321) potentiellement immuno-stimulantes quant à leur effet sur le nombre de lymphocytes chez la souris. Il choisit au sein de 7 portées (une portée = des souris issues de même père et de même mère), 3 souris, la première servant de contrôle, les deux autres recevant respectivement les deux molécules à tester. Après quelque temps, il mesure le nombre de lymphocytes en milliers par mm³ de sang.

Anova 2:
Effet "molécule": fixe, 3 niveaux: a_i
Effet "Portée": aléatoire, 7 niveaux: B_j
Interaction entre "molécule" et "portée": aB_ij
Pas d'effet résiduel car 1 seule mesure par catégorie (k=1).

x_(ij)k= µ + a_i + B_j + aB_ij

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13. Un laboratoire d'analyse de terres désire comparer trois types de sondes pédologiques (S1, S2 et S3) dans les deux types de sols de la région (sableuse, argileuse). A cette fin, il prélève 4 échantillons par type de sol et par sonde et mesure le P₂O₅ dans chaque échantillon de terre.

Anova 2:
Effet "sonde": fixe, 3 niveaux: a_i
Effet "terre": fixe, 2 niveaux: b_j
Interaction entre "sonde" et "terre ": ab_ij
Effet résiduel: aléatoire, 4 niveaux: E_(ij)k

x_(ij)k= µ + ai + bj + ab_ij + E_(ij)k

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14. Afin de déterminer les facteurs agissant sur la production d'interféron β par les lymphocytes bovins, on a planifié l'expérience suivante: quatre taureaux géniteurs de race Pie Rouge sont croisés chacun avec 5 vaches. Sur le veau issu de chaque croisement, on effectue un prélèvement de sang dont on isole les lymphocytes. La moitié des lymphocytes obtenus est stimulée par la lectine CON A et l'autre moitié par la lectine PHA. Après un certain temps, on mesure la quantité d'interféron β produite.

Anova 3:
Effet "taureau": aléatoire, 4 niveaux: A_i
Effet "vache": aléatoire, hiérarchisé à "taureau", 5 niveaux: B_(i)j
Effet "lectine": fixe, 2 niveaux : c_k
Interaction entre "taureau" et "lectine" : Ac_ik
Interaction entre "vache" et "lectine" : Bc_(i)jk
Pas d'effet résiduel car 1 seule mesure par catégorie (l=1).

x_(ijk)l = µ + A_i + B_(i)j + c_k + Ac_ik + Bc_(i)jk

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15. Dans l'étude écologique d'une rivière, 5 stations ont été choisies aléatoirement en amont d'une ville, et 5 stations ont été choisies aléatoirement en aval. Dans chaque station au mois de juillet et au mois d'octobre, on effectue 5 prélèvements d'eau dont on mesure le pH.

Anova 3:
Effet "amont/aval": fixe, 2 niveaux: a_i
Effet "station": aléatoire, hiérarchisé à "amont/aval", 5 niveaux: B_(i)j
Effet "mois": fixe, 2 niveaux : c_k
Interaction entre "amont/aval" et "mois" : ac_ik
Interaction entre "station" et "mois" : Bc_(i)jk
Effet résiduel: aléatoire, 5 niveaux: E_(ijk)l

x_(ijk)l = µ + a_i + B_(i)j + c_k + ac_ik + Bc_(i)jk + E_(ijk)l

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16. Dans les serres modernes, il est possible d'obtenir un air climatisé dont la température et l'humidité sont contrôlées de façon précise. Dans le but d'étudier l'effet de la vitesse de l'air pulsé sur la croissance de deux espèces florales (Strelitzia reginae et Beloperone guttata), l'expérience suivante a été réalisée: trois serres identiques ont été réglées à des vitesses d'air pulsé différentes: V1, V2 et V3. Craignant un effet "paroi", on a mesuré la croissance des plantes à deux endroits différents: au centre et sur le bord sud. A chaque endroit, on mesure après 4 jours, la vitesse de croissance de 10 plantes de chaque espèce.

Anova 3:
Effet "vitesse": fixe, 3 niveaux: a_i
Effet "localisation": fixe, 2 niveaux: b_j
Effet "espèce": fixe, 2 niveaux : c_k
Interaction entre "vitesse" et "espèce" : ac_ik
Interaction entre "localisation" et "espèce" : bc_jk
Interaction entre "vitesse" et "localisation" : ab_ij
Interaction entre "vitesse", "localisation" et "espèce": abc_ijk
Effet résiduel: aléatoire, 10 niveaux: E_(ijk)l

x_(ijk)l = µ + a_i + b_j + c_k + ac_ik + bc_jk + + ab_ij + abc_ijk + E_(ijk)l

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17. Afin de déterminer les facteurs agissant sur la production d'interféron β par les lymphocytes, l'expérience suivante a été réalisée: 4 taureaux géniteurs de race Pie Rouge et 4 taureaux de race Blanc Bleu Belge ont été sélectionnés. Chaque taureau est croisé avec 5 vaches. Sur le veau issu de chaque croisement, on prélève 3 échantillons de sang dont on mesure la quantité d'interféron β produite par les lymphocytes.

Anova 3:
Effet "race": fixe, 2 niveaux: a_i
Effet "taureau": aléatoire, hiérarchisé à "race", 4 niveaux: B_(i)j
Effet "vache": aléatoire, hiérarchisé à "taureau", 5 niveaux: C_(ij)k
Pas d'interaction car tous hiérarchisés.
Effet résiduel: aléatoire, 3 niveaux: E_(ijk)l

x_(ijk)l = µ + a_i + B_(i)j + C_(ij)k + E_(ijk)l

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18. Un vétérinaire désire tester l'action de deux vermifuges sur la croissance pondérale de bovins. Dans un cheptel infesté, il constitue 3 groupes de 15 taurillons: le premier sert de groupe témoin, le deuxième reçoit le vermifuge 1 et le troisième le vermifuge 2. Chaque mois (de novembre à février), chaque animal passe à la pesée et l'on mesure son accroissement en poids en kilos.

Anova 3:
Effet "vermifuge": fixe, 3 niveaux: a_i
Effet "taurillon": aléatoire, hiérarchisé à "vermifuge", 15 niveaux: B_(i)j
Effet "mois": fixe, 4 niveaux : c_k
Interaction entre "vermifuge" et "mois" : ac_ik
Interaction entre "taurillon" et "mois" : Bc_(i)jk
Pas d'effet résiduel car 1 seule mesure par catégorie (l=1).

x_(ijk)l = µ + a_i + B_(i)j + c_k + ac_ik + Bc_(i)jk

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19. Un vétérinaire désire tester l'action de deux vermifuges sur la croissance pondérale de bovins. Dans un cheptel infesté, il constitue 4 groupes de 15 taurillons: le premier reçoit le vermifuge 1 à la dose de 200 mgr/kg/jour, le deuxième reçoit le vermifuge 1 à la dose de 400 mgr/kg/jour, le troisième reçoit le vermifuge 2 à la dose de 200 mgr/kg/jour et le quatrième reçoit le vermifuge 2 à la dose de 400 mgr/kg/jour. Chaque mois (de novembre à février), chaque animal passe à la pesée et l'on mesure son accroissement en poids en kilos.

Anova 4:
Effet "vermifuge": fixe, 2 niveaux: a_i
Effet "dose": fixe, 2 niveaux: b_j
Effet "taurillon": aléatoire, hiérarchisé à "dose" et "vermifuge", 15 niveaux : C_(ij)k
Effet "mois": fixe, 4 niveaux: d_l
Interaction entre "vermifuge" et "dose" : ab_ij
Interaction entre "vermifuge" et "mois" : ad_il
Interaction entre "dose" et "mois" : bd_jl
Interaction entre "taurillon" et "mois" : Cd_(ij)kl
Interaction entre "vermifuge", "dose" et "mois" : abd_ijl
Pas d'effet résiduel car 1 seule mesure par catégorie (m=1).

x_(ijkl)m = µ + a_i + b_j + C_(ij)k + d_l + ab_ij + ad_il + bd_jl + Cd_(ij)kl + abd_ijl

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