Module 40:

Il existe deux grands types de distributions : les distributions discontinues (ou discrètes) et les distributions continues.

Les distributions discrètes

Nous envisageons des variables discrètes (X) qui ne peuvent prendre que des valeurs entières positives ou nulles. Elles se représentent par un diagramme de barres avec, en abscisse, les valeurs individuelles x_i et, en ordonnée, la densité de fréquences relatives, qui est égale à la fréquence relative (Δ_x=1)

Exemple: Parmi ces distributions figurent les distributions binomiales et de Poisson.

Les distributions continues

Nous envisageons des variables continues (X) qui peuvent prendre n'importe quelles valeurs entre deux bornes, éventuellement entre + ou - l'infini.

La différence entre deux valeurs x et x+Δ_x tend vers 0 et donc P(X=x_i)=0.

Les distributions continues se représentent, dans la population, par une fonction de densité de probabilité et dans l'échantillon par un histogramme.

Pour établir un histogramme, les valeurs x_i doivent être regroupées en classes.

La variable X est représentée en abscisse. En ordonnée, on représente la densité de fréquences relatives ou, pour n tendant vers l'infini, la densité de probabilités.

Exemple: Parmi ces distributions figurent les distributions normales, normales réduites et chi-carré

Les distributions discrètes binomiales et de Poisson sont utilisées pour modéliser, à priori, (sans réaliser aucune observation dans un échantillon), la distribution de probabilité de la variable X. Ces deux distributions se représentent par des diagrammes de barres et s’emploient dans les conditions particulières suivantes :

• la distribution binomiale s’emploie dans le cas où on identifie une probabilité de succès et d'échec (1-) (voir aussi le module v.a. binomiale) et un nombre n d'événements.
• La distribution de Poisson est utilisée lorsque l’on recense des événements par unités de temps, de surface, de volume, etc. (voir aussi le module v.a. de Poisson)

Ces deux distributions convergent vers une seule et même distribution lorsque :
X v.a. Bi (n;) avec n supérieur à 25 et proche de 0,5

avec m =n.

et s²=n.(1-)

X v.a. Po (µ) avec µ supérieur à 10

Cette distribution devient continue et se modélise par une courbe de Gauss-Laplace : c’est la variable aléatoire normale X v.a. N (µ ; σ²). La plupart des variables biologiques obéissent à un tel modèle. Il existe une moyenne et une variance propre à chaque variable, compliquant de ce fait le calcul des probabilités sous la courbe.

Afin de faciliter le calcul de probabilités, il est possible de créer une variable aléatoire normale dépourvue d’unités, centrée sur 0 et de variance 1 : c’est la variable aléatoire réduite Z [ Z v.a. N (0 ;1)]. Elle a été totalement caractérisée et les probabilités calculées pour un grand nombre d'intervalles z+Dz.

Une simple transformation d’une variable aléatoire normale X permet d'obtenir Z et donc d’évaluer rapidement les probabilités correspondantes. La conversion se fait par l’intermédiaire de la formule suivante :

zi = (xi-µ)/

Dans certains contextes expérimentaux, l’expérimentateur est amené à comparer des fréquences observées (fobs) dans l’échantillon par rapport aux fréquences prédites par un modèle (fth).

Cette comparaison se fait par le calcul d’écarts quadratiques standardisés (chi-carré observé) : pour chaque catégorie (classe), il est possible de calculer des différences observées réduites (chi carré)

Comparons la formule de z et de chi carré: z= (x-µ)/σ chi carré observé= (fobs-fth)2/fth basée sur la propriété d'une v.a. Po avec Pi=σ2 qui est plus ou moins égal à fth; La somme des chi carrés observés pour toutes les classes est donc une somme de z2, modélisée par une distribution chi carré pour (k-1) degré de liberté, où k est le nombre de termes de cette somme. La valeur chi carré observée doit donc être comparée à une distribution chi carré (k-1)

Une étude est réalisée sur une population de chauve-souris. L’envergure moyenne est, selon des publications très sérieuses, de (375 ± 15) millimètres.

• De quel type de variable aléatoire parle-t-on ? Définissez-la en employant la symbolique vue au cours
• Quel modèle doit-on associer à cette variable aléatoire ? Aidez-vous du formulaire pour écrire l’équation de ce modèle. Que vaut la densité de probabilité au sommet de la fonction de probabilité du modèle f(x) ?
• Dans cette population, déterminez les limites inférieures et supérieures permettant de sélectionner, autour de la moyenne, 68 % - 95 % - 99 % des individus de la population ?
• Quelle proportion des individus possède une envergure :
  
  
  • Inférieure à 382,86 mm ?
  • Inférieure à 378,795 mm ?
  • Supérieure à 421,35 mm ?
    
    
• Une chauve-souris prélevée dans cette population possède une envergure de 405 mm. Appartient-elle à l’intervalle autour de la moyenne isolant 95 % des individus de la population ? En est-il de même avec un individu de 346 mm ?
• Que vaut approximativement (donnez une fourchette de probabilités) la probabilité de trouver un individu dont la taille serait inférieure à 405 mm ? Refaire l’exercice pour un individu de moins de 346 mm ?

La pression sanguine chez le rat suit un modèle de Gauss-Laplace. Elle est de 120 mm de Mercure pour une variance de 100 mm².

1. De quel type de variable aléatoire parle-t-on ? Définissez-la en employant la symbolique vue au cours.
2. Quelles sont les limites de pression sanguine telles que la pression sanguine la plus petite de cette zone est inférieure ou égale à 95 % et la plus grande inférieure ou égale à 99 % ? Faites apparaître vos réponses dans un tableau tel que :

   Si s vaut : … mm		Limite inférieure	Limite supérieure
   P(Xxi)=…	Zi vaut …

3. Déterminez les limites de l’intervalle autour de moyenne permettant d’isoler 68 % ; 95 % et 99 % pour la population de chauves-souris adultes mâles sachant que la pression sanguine moyenne est aussi de 120 mais la variance est quatre fois moindre par rapport à la variabilité de la population prise dans sa totalité. Comme au point précédent, réalisez un tableau pour résumer vos résultats. Définissez symboliquement cette sous-population.
   

4. Lorsque la variance diminue, comme c’est le cas dans cet exercice, comment évolue la fonction f(x), notamment au niveau de la densité de probabilité lorsque X = µ ? Comparez ces valeurs pour la population totale de chauves-souris et la sous-population des mâles.