Module 210:

Comme vu précédemment, le protocole d'une expérience peut être modélisé en une équation mathématique.

Ce chapitre nous permet de déterminer, par un test statistique de Fisher-Snedecor, si chacun des composants de variance de l'équation a une influence significative sur le paramètre étudié.

Méthodologie :

après avoir modélisé sous forme d'équation le protocole expérimental, déterminer l'espérance du carré moyen correspondant à chaque composant de cette équation.
calculer le F_observé pour chaque composant.
Rappelons que le test F est un rapport de carrés moyens. Au numérateur nous aurons le CM du composant et au dénominateur le CM du terme correspondant au carré moyen étudié.

Si le composant a une influence significative, il devra être pris en compte dans la modélisation.
Dans le cas contraire, l'équation de base pourra être simplifiée et le composant sera éliminé. Il ne faudra donc plus tenir compte de ce critère pour expliquer le paramètre étudié.

Énoncé de l'expérience:

Pour fixer les quotas laitiers de la Région wallonne, l'expérimentateur prospecte l'Ardenne, le Condroz et la Hesbaye. Dans chaque région, il recueille les statistiques de production de 4 vaches prises au hasard, en été et en hiver. Sur chacune de ces vaches, il réalise 3 traites pour mesurer la quantité de lait.

Représentation de l'expérience:

		été			hiver
		traite 1	traite 2	traite 3	traite 1	traite 2	traite 3
Ardenne	vache 1	qtité lait
	vache 2
	vache 3
	vache 4
Condroz	vache 1
	vache 2
	vache 3
	vache 4
Hesbaye	vache 1
	vache 2
	vache 3
	vache 4

Critères:

Région: a_i où i = 3
- critère fixe avec 3 niveaux
- croisé au critère Saison

Vache: B_(i)j où j = 4
- critère aléatoire avec 4 niveaux
- hiérarchisé au critère Région
- croisé au critère Saison

Saison: c_k où k = 2
- critère fixe à 2 niveaux
- croisé au critère Région
- croisé au critère Vache

Nombre de réplicats: l = 3

Équation:

x(ijk) l = mx + a_i + B_(i)j + c_k + ac_ik + Bc_(i)jk + E_(ijk)l

la production laitière serait donc influençable par:

la Région seule: a_i
la Vache seule: B_(i)j
la Saison seule: c_k
l'interaction Région / Saison: ac_ik
l'interaction Vache / Saison: Bc_(i)jk

ne pas oublier de tenir compte des erreurs de mesures E_(ijk)l (important quand la mesure est répétée)

Espérances des carrés moyens de chaque composant:

Application de la règle 1 :

δ² : pour les critères fixes
S²: pour les critères aléatoires

Si l'indice :

- n'est pas repris dans le membre en tête de ligne
mettre la valeur de l'indice en question

- est repris dans le membre en tête de ligne,
- se rapporte à un critère fixe (minuscule)
- n'est pas entre parenthèses
mettre la valeur 0

- est repris dans le membre en tête de ligne
- ne répond pas aux conditions précédentes
mettre la valeur 1

		i = 3	j = 4	k = 2	l = 3
δ²a	a_i	0	4	2	3
S²B	B_(i)j	1	1	2	3
δ²c	c_k	3	4	0	3
δ²ac	ac_ik	0	4	0	3
S²Bc	Bc_(i)jk	1	1	0	3
S²	E_(ijk)l	1	1	1	1

Espérances des carrés moyens de chaque composant:

Application de la règle 2 :

Considérer uniquement les sources de variabilité
qui ont au moins tous les indices repris en tête de ligne

exemple:
pour ac_ik, pour rendre ses δ² et S², il faut que les deux indices i et k soient présents

		i = 3	j = 4	k = 2	l = 3
δ²a	a_i	0	4	2	3	δ²a	S²B		δ²ac	S²Bc	S²
S²B	B_(i)j	1	1	2	3		S²B			S²Bc	S²
δ²c	c_k	3	4	0	3			δ²c	δ²ac	S²Bc	S²
δ²ac	ac_ik	0	4	0	3				δ²ac	S²Bc	S²
S²Bc	Bc_(i)jk	1	1	0	3					S²Bc	S²
S²	E_(ijk)l	1	1	1	1						S²

Espérances des carrés moyens de chaque composant:

Application de la règle 3 :

Masquer les colonnes correspondant aux indices qui ne sont pas entre parenthèses
Pondérer chaque terme par le produit des indices non masqués

		i = 3	j = 4	k = 2	l = 3
δ²a	a_i	0	4	2	3	24δ²a	6S²B		0δ²ac	0S²Bc	1S²
S²B	B_(i)j	1	1	2	3		6S²B			0S²Bc	1S²
δ²c	c_k	3	4	0	3			36δ²c	0δ²ac	3S²Bc	1S²
δ²ac	ac_ik	0	4	0	3				12δ²ac	3S²Bc	1S²
S²Bc	Bc_(i)jk	1	1	0	3					3S²Bc	1S²
S²	E_(ijk)l	1	1	1	1						1S²

Détermination des tests d'hypothèses et conclusions:

Rappelons que l'intérêt de cette démarche, est de déterminer quels composants de l'équation initiale sont pertinents pour expliquer la production laitière.

Chaque composant devra donc faire l'objet d'un test d'hypothèses et donc il faut pour chacun de ces composants calculer un F observé.

x_(ijk)l = mx + a_i + B_(i)j + c_k + ac_ik + Bc_(i)jk + E_(ijk)l

Application de la règle 4 pour déterminer les degrés de liberté de chaque test d'hypothèses

Effectuer le produit de la valeur maximale de tous les indices représentés en tête de
ligne, après avoir retiré 1 à ceux qui ne sont pas entre parenthèses.

			i=3	j=4	k=2	l=3							dl
test 1	δ²a	a_i	0	4	2	3	24δ²a	6S²B		0δ²ac	0S²Bc	1S²	2
test 2	S²B	B_(i)j	1	1	2	3		6S²B			0S²Bc	1S²	9
test 3	δ²c	c_k	3	4	0	3			36δ²c	0δ²ac	3S²Bc	1S²	1
test 4	δ²ac	ac_ik	0	4	0	3				12δ²ac	3S²Bc	1S²	2
test 5	S²Bc	Bc_(i)jk	1	1	0	3					3S²Bc	1S²	9
	S²	E_(ijk)l	1	1	1	1						1S²	48

Test 1:

H0: δ²a = 0
H1 : δ²a ≠ 0

si δ²a = 0, a_i = 6S²B + 1S²
donc, la source de variabilité a_i a la même équation que la source de variabilité B_(i)j
donc, F observé = E ( CMai ) / E ( CMB_(i)j)

si le test est significatif, alors δ²a ≠ 0
alors, il faut maintenir a_i dans l'équation finale puisque la région influence la production laitière de manière significative
si le test est non significatif, alors δ²a = 0
alors, nous pouvons supprimer a_i de l'équation finale puisque la région n'influence pas la production laitière

Test 2:

H0: S²B = 0
H1 : S²B ≠ 0

si S²B = 0, B_(i)j = 1S²
donc, la source de variabilité B_(i)j a la même équation que le Carré Moyen résiduel
donc, F observé = E ( CMB_(i)j ) / E ( CMR )

si le test est significatif, alors S²B ≠ 0
alors, il faut maintenir B_(i)j dans l'équation finale puisque le critère vache influence la production laitière de manière significative
si le test est non significatif, alors S²B = 0
alors, nous pouvons supprimer B_(i)j de l'équation finale puisque le critère vache n'influence pas la production laitière

Test 3:

H0: δ²c = 0
H1 : δ²c ≠ 0

si δ²c = 0, c_k = 3S²Bc + 1S²
donc, la source de variabilité c_k a la même équation que la source de variabilité Bc_(i)jk
donc, F observé = E ( CMc_k ) / E ( CMBc_(i)jk )

si le test est significatif, alors δ²c ≠ 0
alors, il faut maintenir c_k dans l'équation finale puisque la saison influence la production laitière de manière significative
si le test est non significatif, alors δ²c = 0
alors, nous pouvons supprimer c_k de l'équation finale puisque la saison n'influence pas la production laitière

Test 4:

H0: δ²ac = 0
H1 : δ²ac ≠ 0

si δ²ac = 0, ac_ik = 3S²Bc + 1S²
donc, la source de variabilité ac_ik a la même équation que la source de variabilité Bc_(i)jk
donc, F observé = E ( CMac_ik ) / E ( CMBc_(i)jk )

si le test est significatif, alors δ²ac ≠ 0
alors, il faut maintenir ac_ik dans l'équation finale puisque l'interaction région/saison influence la production laitière de manière significative

si le test est non significatif, alors δ²ac = 0
alors, nous pouvons supprimer ac_ikde l'équation finale puisque l'interaction région/saison n'influence pas la production laitière

Test 5:

H0: S²Bc = 0
H1 : S²Bc ≠ 0

si S²Bc = 0, Bc_(i)jk =1S²
donc, la source de variabilité Bc_(i)jk a la même équation que le Carré Moyen résiduel
donc, F observé = E ( CMBc_(i)jk )/ E ( CMR )

si le test est significatif, alors S²Bc ≠ 0
alors, il faut maintenir Bc_(i)jk dans l'équation finale puisque l'interaction vache/saison influence la production laitière de manière significative
si le test est non significatif, alors S²Bc = 0
alors, nous pouvons supprimer Bc_(i)jk de l'équation finale puisque l'interaction vache/saison n'influence pas la production laitière

Module 210: document.write(TitreModule);

document.write(TitrePage);

document.write(TitrePage);

document.write(TitrePage);

document.write(TitrePage);

document.write(TitrePage);

document.write(TitrePage);

Module 210: