Module 160:

Cette méthode de comparaison des moyennes est plus puissante que la méthode des contrastes de SCHEFFE. Comme cette dernière, elle est applicable même dans le cas où les effectifs des échantillons ne sont pas tous égaux.

La plupart des expériences sont réalisées dans le but de répondre à une ou plusieurs questions précises. Chacune des questions posées a priori constitue un contraste l.

Un expérimentateur s'intéresse en général au test de plusieurs contrastes (ou questions). Afin que les différents contrastes à tester ne soient pas redondants, il est nécessaire qu'ils soient indépendants. Dans ce cas, ils sont dits "ORTHOGONAUX".

Dans une expérience comportant nA échantillons, il y a (nA-1) contrastes orthogonaux entre eux.

Une expérience contenant r contrastes l1, l2, ... et lr forment un ensemble de contrastes mutuellement orthogonaux si, et seulement si, ils sont orthogonaux 2 à 2.

On appelle contraste toute combinaison linéaire des moyennes des nA populations.

l=c1µ1+c2µ2+...+cnAµnA

Où les ci sont des constantes liées par la relation

somme des ci (pour i=1, 2, ..., nA) est égale à 0

Supposons qu'une entreprise pharmaceutique souhaite tester deux médicaments A et B pour voir s'ils ont une influence sur la croissance pondérale de moutons. Pour chacun des médicaments, deux doses (dose 1 et dose 2) sont testées.

L'expérimentateur va construire une expérience comme suit:

1. Les médicaments A et B ont-ils un effet sur la croissance pondérale des moutons?
2. Le médicament B a-t-il le même effet que le médicament A?
3. La dose du médicament A a-t-elle une importance sur croissance pondérale des animaux testés?
4. La dose du médicament B a-t-elle une importance sur croissance pondérale des animaux testés?

Pour répondre à cette question, l'expérimentateur va imputer aux différentes moyennes de l'expérience une valeur ci de manière à opposer les résultats des différents médicaments au résultat obtenu avec le témoin.

Pour répondre à cette question, l'expérimentateur va imputer aux 2 moyennes correspondant au médicament A une valeur ci telle qu'elle va opposer à celles imputées aux moyennes du médicament B.

3°)La dose du médicament A a-t-elle une importance sur la croissance pondérale des animaux testés?

Pour répondre à cette question, l'expérimentateur va imputer à la moyenne correspondant à la dose 1 du médicament A une valeur ci telle qu'elle va opposer à celle imputée à la moyenne de la dose 2 de ce même médicament A.

4°)La dose du médicament B a-t-elle une importance sur croissance pondérale des animaux testés?

Pour répondre à cette question, l'expérimentateur va imputer à la moyenne correspondant à la dose 1 du médicament B une valeur ci telle qu'elle va opposer à celle imputée à la moyenne de la dose 2 de ce même médicament B.

		MEDICAMENT A		MEDICAMENT B		(ciTi)	(ci2)	D2	F obs	conclure
	TEMOIN	DOSE 1	DOSE 2	DOSE 1	DOSE 2
Ti	T1	T2	T3	T4	T5
c1	+4	-1	-1	-1	-1		20
c2	0	+1	+1	-1	-1		4
c3	0	+1	-1	0	0		2
c4	0	0	0	+1	-1		2

Les Ti (pour i = 1, 2, ..., nA) correspondent aux totaux. Ainsi, T1 résulte de la somme des valeurs de l'échantillon 1 ou encore au produit suivant:

moyenne1*ni avec ni le nombre d'individus dans un échantillon

(ciTi) représente la somme de toutes les valeurs d'un échantillon ou encore la moyenne*nombre de valeurs contenues dans l'échantillon.

NB dans excel: (ciTi)=SOMME(zone des constantes ci pour un contraste*zone des Ti)

ATTENTION: POMME ENTER

(ci2) représente la somme des carrés des constantes posées pour un contraste ci (ou question) (exemple: pour le contraste c1: 42+(-1)2+(-1)2+(-1)2+(-1)2=20

NB dans excel: (ci2)=SOMME((zone des constantes des contrastes ci)^2 )

ATTENTION: POMME ENTER

D2 correspond au calcul suivant:

NB dans excel: D2=valeur de la somme des ciTi pour un contraste^2 / (taille d'un échantillon*somme des constantes ci^2 d'un contraste)

Lorsque toutes ces valeurs sont calculées, il faut reprendre chaque D2 et le comparer avec le CMR de l'ANOVA

Les F observés sont ensuite comparés à une valeur F des tables pour 1 degré de liberté et (N-nA) degrés de libertés pour un intervalle de confiance de 0,95 ou 0,99.

Si la valeur observée est plus grande que la valeur des tables, cela signifie qu'il y a un effet pour la question posée.

Pourquoi 1dl?

En réalité, la variabilité expliquée (FACTORIELLE) dépend de (nA-1)dl. Il y a autant de questions a priori (contrastes) qu'il y a de degrés de liberté pour la FACTORIELLE.

Les contrastes orthogonaux permettent donc de décomposer cette variabilité expliquée en (nA-1) "morceaux"

Pourquoi (N-nA)dl?

Vous comparez un "morceau" de la variabilité expliquée (FACTORIELLE) à la variabilité non expliquée (RESIDUELLE)