Module 125:

Les tests d'hypothèses relatifs aux variances ont pour but de vérifier l'homoscédasticité de deux ou plusieurs échantillons.

Homoscédasticité ?

Homoscédasticité signifie "qui a une dispersion identique": vient du grec σκεδαση, skedasê qui signifie "dissipation", "dispersement".

Statistique de test

Dans le cas des tests d'homoscédasticité, la statistique de test est le rapport entre les deux variances comparées : S₁² /S₂² avec S₁² ≥ S₂².

Quel test utiliser ?

Il existe plusieurs distributions expliquant le rapport entre deux variances, et donc plusieurs tests possibles en fonction des situations expérimentales rencontrées.

Dans le cadre de ce site nous nous limiterons au test de Hartley et au test de Fisher.

Le test de Hartley est utilisé lorsqu'on a plusieurs échantillons composés d'un nombre identique d'individus (ex : 10 échantillons de 5 individus)

Le test de Fisher est utilisé lorsqu'on dispose d'échantillons de tailles différentes (n₁ ≠ n₂). Le test de Fisher ne peut traiter que le cas où il n'y a que deux échantillons.

Test de l'homogénéité des variances dans le cas où le test concerne des variances d'échantillons calculées sur des nombres identiques d'individus.

Dans le cas du test de Hartley le nombre d'échantillons n'est pas limité.

Hypothèses

H0: les variances des échantillons sont homogènes
H1: au moins une des variances est fortement différente des autres

Statistique de test

La valeur à calculer est :

H_observé = variance la plus grande / variance la plus petite = S_max²/S_min²

Réalisation du test

Lire dans la table de Hartley (disponible sous le lien "Tables" de la bannière de ce site) la valeur H_théorique telle que :

H table pour k dl; r dl; 0,95

• k est le nombre de groupes comparés
• r=n-1; c-à-d le nombre de d.l .des variances étudiées, avec n = nombre d'individus par échantillon.

Comparer le H_théorique ainsi obtenu avec le H_observé calculé précédemment.

Conclusions

Si H_observé est plus grand que le H_théorique : la conclusion = refus de l'hypothèse nulle (RH0): cela signifie que les variances des échantillons sont trop différentes pour être considérées comme homogènes.

Si H_observé est plus petit que le H_théorique : la conclusion = acceptation de l'hypothèse nulle (AH0) : cela signifie que les variances ont des valeurs suffisamment proches pour qu'on accepte l'idée qu'elles soient toutes homogènes.

Test de l'homogénéité des variances dans le cas où le test concerne des variances d'échantillons calculées sur des nombres différents d'individus.

Dans le cas du test de Fisher le nombre d'échantillons est limité à 2.

Hypothèses

H0: les variances des échantillons sont homogènes
H1: les variances des échantillons ne sont pas homogènes

Statistique de test

La valeur à calculer est :

F_observé = variance la plus grande / variance la plus petite = S_max²/S_min²

Réalisation du test

Lire dans la table de Fisher (disponible sous le lien "Tables" de la bannière de ce site) la valeur F _théorique telle que :

F_théorique = F _{k dl; r dl; 0,95} c'est-à-dire la valeur des tables de Fisher pour k et r degrés de libertés, et pour une confiance de 95%.

avec :

k= n_max-1 où n_max=nombre d'individus dans l'échantillon d'où provient la plus grande des deux variances;

r= n_min-1 où n_min=nombre d'individus dans l'échantillon d'où provient la plus petite des deux variances;

Comparer le F _théorique ainsi obtenu avec le F _observé calculé précédemment.

Conclusions

Si F _observé est plus grand que le F _théorique : la conclusion = refus de l'hypothèse nulle (RH0): cela signifie que les variances des échantillons sont trop différentes pour être considérées comme homogènes.

Si F _observé est plus petit que le F _théorique : la conclusion = acceptation de l'hypothèse nulle (AH0) : cela signifie que les deux variances ont des valeurs suffisamment proches pour qu'on accepte l'idée qu'elles soient homogènes.